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8.已知方程$\frac{1}{4}+5(x-\frac{1}{2010})=\frac{1}{2}$，则代数式$3+10(2x-\frac{1}{1005})$的值是
4
。答案
8.4
解析:方程化简得$x-\frac{1}{2010}=\frac{1}{20}$,所以$2x-\frac{1}{1005}=\frac{1}{10}$,代入$3+10(2x-\frac{1}{1005})=4$.
解析:方程化简得$x-\frac{1}{2010}=\frac{1}{20}$,所以$2x-\frac{1}{1005}=\frac{1}{10}$,代入$3+10(2x-\frac{1}{1005})=4$.
解析
【分析】
解题时先观察已知方程和待求代数式的结构，发现二者存在关联：待求代数式中括号内的$2x-\frac{1}{1005}$可变形为$2(x-\frac{1}{2010})$，和已知方程中的含x部分成倍数关系，因此无需单独求出x的值，只需先从已知方程中算出$x-\frac{1}{2010}$的值，再整体代入待求代数式计算即可，这样能大幅简化运算步骤。
【解析】
第一步：化简已知方程，求$x-\frac{1}{2010}$的值
对$\frac{1}{4}+5(x-\frac{1}{2010})=\frac{1}{2}$移项得：
$5(x-\frac{1}{2010})=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$
计算右边：$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$
两边同时除以5得：$x-\frac{1}{2010}=\frac{1}{4}÷5=\frac{1}{20}$
第二步：变形待求代数式中的括号部分
将$2x-\frac{1}{1005}$变形：因为$\frac{1}{1005}=\frac{2}{2010}$，所以
$2x-\frac{1}{1005}=2x-\frac{2}{2010}=2(x-\frac{1}{2010})$
把$x-\frac{1}{2010}=\frac{1}{20}$代入得：
$2x-\frac{1}{1005}=2×\frac{1}{20}=\frac{1}{10}$
第三步：代入计算代数式的值
将$2x-\frac{1}{1005}=\frac{1}{10}$代入$3+10(2x-\frac{1}{1005})$得：
原式$=3+10×\frac{1}{10}=3+1=4$
【答案】
4
【知识点】
1. 一元一次方程化简
2. 整体代入求值
【点评】
本题侧重考查整体代入的数学思想，解题的关键是观察到已知式子和待求式子的结构关联，通过对代数式变形实现整体代入，比直接求解未知数x再代入计算更简便，能有效降低运算量、减少计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知方程和待求代数式的结构，发现二者存在关联：待求代数式中括号内的$2x-\frac{1}{1005}$可变形为$2(x-\frac{1}{2010})$，和已知方程中的含x部分成倍数关系，因此无需单独求出x的值，只需先从已知方程中算出$x-\frac{1}{2010}$的值，再整体代入待求代数式计算即可，这样能大幅简化运算步骤。
【解析】
第一步：化简已知方程，求$x-\frac{1}{2010}$的值
对$\frac{1}{4}+5(x-\frac{1}{2010})=\frac{1}{2}$移项得：
$5(x-\frac{1}{2010})=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$
计算右边：$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$
两边同时除以5得：$x-\frac{1}{2010}=\frac{1}{4}÷5=\frac{1}{20}$
第二步：变形待求代数式中的括号部分
将$2x-\frac{1}{1005}$变形：因为$\frac{1}{1005}=\frac{2}{2010}$，所以
$2x-\frac{1}{1005}=2x-\frac{2}{2010}=2(x-\frac{1}{2010})$
把$x-\frac{1}{2010}=\frac{1}{20}$代入得：
$2x-\frac{1}{1005}=2×\frac{1}{20}=\frac{1}{10}$
第三步：代入计算代数式的值
将$2x-\frac{1}{1005}=\frac{1}{10}$代入$3+10(2x-\frac{1}{1005})$得：
原式$=3+10×\frac{1}{10}=3+1=4$
【答案】
4
【知识点】
1. 一元一次方程化简
2. 整体代入求值
【点评】
本题侧重考查整体代入的数学思想，解题的关键是观察到已知式子和待求式子的结构关联，通过对代数式变形实现整体代入，比直接求解未知数x再代入计算更简便，能有效降低运算量、减少计算错误。
【难度系数】
0.7
9.将等式$3a - 2b = 2a - 2b$变形，过程如下：
因为$3a - 2b = 2a - 2b$，所以$3a = 2a$(第一步).所以$3 = 2$(第二步).
上述过程中，第一步的依据是
因为$3a - 2b = 2a - 2b$，所以$3a = 2a$(第一步).所以$3 = 2$(第二步).
上述过程中，第一步的依据是
等式的性质1
，第二步得出错误的结论，其原因是等式的两边同时除以$a$,$a$可能等于0
.答案
9.等式的性质1
等式的两边同时除以$a$,$a$可能等于0
等式的两边同时除以$a$,$a$可能等于0
解析
【分析】
解题时先回忆等式的基本性质，再对应每一步变形分析：首先看第一步，是给原等式两边同时加上2b得到3a=2a，对应等式的性质1；再看第二步，从3a=2a到3=2是两边同时除以a，需要注意等式两边除以同一个数时，这个数不能为0，此处未考虑a可能为0的情况，因此出错。
【解析】
1. 分析第一步变形：已知$3a - 2b = 2a - 2b$，根据等式的性质1，给等式两边同时加上$2b$，可得$3a - 2b + 2b = 2a - 2b + 2b$，化简后得到$3a=2a$，因此第一步的依据是等式的性质1。
2. 分析第二步错误原因：要从$3a=2a$得到$3=2$，需要给等式两边同时除以$a$，根据等式的性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立。此处没有考虑$a$可能等于0的情况，0不能作为除数，因此直接除以$a$的操作不成立，得出了错误的结论。
【答案】
等式的性质1；等式的两边同时除以$a$,$a$可能等于0
【知识点】
1. 等式的性质1
2. 等式的性质2
【点评】
本题考查等式性质的实际应用，属于易错题，核心易错点是运用等式性质2变形时，忽略除数不能为0的前提条件，学习时要牢记等式性质的适用要求，规范变形操作。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆等式的基本性质，再对应每一步变形分析：首先看第一步，是给原等式两边同时加上2b得到3a=2a，对应等式的性质1；再看第二步，从3a=2a到3=2是两边同时除以a，需要注意等式两边除以同一个数时，这个数不能为0，此处未考虑a可能为0的情况，因此出错。
【解析】
1. 分析第一步变形：已知$3a - 2b = 2a - 2b$，根据等式的性质1，给等式两边同时加上$2b$，可得$3a - 2b + 2b = 2a - 2b + 2b$，化简后得到$3a=2a$，因此第一步的依据是等式的性质1。
2. 分析第二步错误原因：要从$3a=2a$得到$3=2$，需要给等式两边同时除以$a$，根据等式的性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立。此处没有考虑$a$可能等于0的情况，0不能作为除数，因此直接除以$a$的操作不成立，得出了错误的结论。
【答案】
等式的性质1；等式的两边同时除以$a$,$a$可能等于0
【知识点】
1. 等式的性质1
2. 等式的性质2
【点评】
本题考查等式性质的实际应用，属于易错题，核心易错点是运用等式性质2变形时，忽略除数不能为0的前提条件，学习时要牢记等式性质的适用要求，规范变形操作。
【难度系数】
0.7
10.有八个球，编号分别是①至⑧，其中有六个球一样重，另外两个球都偏轻1 g.为了找出这两个较轻的球，用天平称了三次，结果如下：第一次，①＋②比③＋④重；第二次，⑤＋⑥比⑦＋⑧轻；第三次，①＋③＋⑤和②＋④＋⑧一样重.那么两个较轻的球的编号是
④⑤
.答案
10.④⑤
解析:因为①+②比③+④重,所以③与④中至少有一个较轻的球.
因为⑤+⑥比⑦+⑧轻,所以⑤与⑥中至少有一个较轻的球.
因为①+③+⑤和②+④+⑧一样重,所以两个较轻的球的编号是④⑤.
解析:因为①+②比③+④重,所以③与④中至少有一个较轻的球.
因为⑤+⑥比⑦+⑧轻,所以⑤与⑥中至少有一个较轻的球.
因为①+③+⑤和②+④+⑧一样重,所以两个较轻的球的编号是④⑤.
解析
【分析】
解题时首先结合题目“只有2个偏轻球”的前提，从前两次天平称重结果缩小轻球范围：第一次①+②比③+④重，说明③、④中至少有1个轻球，且①、②都是正常重量（否则会出现轻球在①②中、总和仍大于③④的矛盾，不符合只有2个轻球的条件）；第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，说明⑤、⑥中至少有1个轻球，且⑦、⑧都是正常重量。结合轻球总数，可确定轻球必然是③④中1个、⑤⑥中1个，再利用第三次称重两边重量相等的条件做等量分析，就能确定最终的轻球编号。
【解析】
设每个正常球重量为$a$，偏轻球重量为$a-1$。
1. 由第一次称重结果$①+②＞③+④$可得：③和④中至少有1个偏轻球，且①、②均为正常球（若①、②存在偏轻球，需要③、④均为偏轻球才能满足重量关系，此时总偏轻球数≥3，和题意矛盾）。
2. 由第二次称重结果$⑤+⑥＜⑦+⑧$可得：⑤和⑥中至少有1个偏轻球，且⑦、⑧均为正常球（若⑦、⑧存在偏轻球，需要⑤、⑥均为偏轻球才能满足重量关系，此时总偏轻球数≥3，和题意矛盾）。
结合总共有2个偏轻球的条件，可确定偏轻球为③、④中的1个，⑤、⑥中的1个。
3. 由第三次称重结果$①+③+⑤=②+④+⑧$，代入已知正常球①、②、⑧的重量，化简可得$③+⑤=④+a$：
若偏轻球是⑥，即⑤为正常球：若③偏轻，左边重量为$(a-1)+a=2a-1$，右边重量为$a+a=2a$，两边不相等；若④偏轻，左边重量为$a+a=2a$，右边重量为$(a-1)+a=2a-1$，两边也不相等，因此⑥不是偏轻球，偏轻球为⑤。
已知⑤是偏轻球，左边已有1个偏轻球（重量少1g），要使两边重量相等，右侧也需要有1个偏轻球，右侧仅④可能是偏轻球，因此④为偏轻球。
【答案】
④⑤
【知识点】
逻辑推理；等式的性质；不等关系分析
【点评】
本题依托天平称重的实际场景，需要学生结合已知条件逐步缩小轻球的可选范围，再通过等量验证得到最终结果，能有效考察逻辑推导和信息整合的能力，解题时需注意“仅有2个偏轻球”这个核心限制条件。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合题目“只有2个偏轻球”的前提，从前两次天平称重结果缩小轻球范围：第一次①+②比③+④重，说明③、④中至少有1个轻球，且①、②都是正常重量（否则会出现轻球在①②中、总和仍大于③④的矛盾，不符合只有2个轻球的条件）；第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，说明⑤、⑥中至少有1个轻球，且⑦、⑧都是正常重量。结合轻球总数，可确定轻球必然是③④中1个、⑤⑥中1个，再利用第三次称重两边重量相等的条件做等量分析，就能确定最终的轻球编号。
【解析】
设每个正常球重量为$a$，偏轻球重量为$a-1$。
1. 由第一次称重结果$①+②＞③+④$可得：③和④中至少有1个偏轻球，且①、②均为正常球（若①、②存在偏轻球，需要③、④均为偏轻球才能满足重量关系，此时总偏轻球数≥3，和题意矛盾）。
2. 由第二次称重结果$⑤+⑥＜⑦+⑧$可得：⑤和⑥中至少有1个偏轻球，且⑦、⑧均为正常球（若⑦、⑧存在偏轻球，需要⑤、⑥均为偏轻球才能满足重量关系，此时总偏轻球数≥3，和题意矛盾）。
结合总共有2个偏轻球的条件，可确定偏轻球为③、④中的1个，⑤、⑥中的1个。
3. 由第三次称重结果$①+③+⑤=②+④+⑧$，代入已知正常球①、②、⑧的重量，化简可得$③+⑤=④+a$：
若偏轻球是⑥，即⑤为正常球：若③偏轻，左边重量为$(a-1)+a=2a-1$，右边重量为$a+a=2a$，两边不相等；若④偏轻，左边重量为$a+a=2a$，右边重量为$(a-1)+a=2a-1$，两边也不相等，因此⑥不是偏轻球，偏轻球为⑤。
已知⑤是偏轻球，左边已有1个偏轻球（重量少1g），要使两边重量相等，右侧也需要有1个偏轻球，右侧仅④可能是偏轻球，因此④为偏轻球。
【答案】
④⑤
【知识点】
逻辑推理；等式的性质；不等关系分析
【点评】
本题依托天平称重的实际场景，需要学生结合已知条件逐步缩小轻球的可选范围，再通过等量验证得到最终结果，能有效考察逻辑推导和信息整合的能力，解题时需注意“仅有2个偏轻球”这个核心限制条件。
【难度系数】
0.6
11.根据下列问题，设未知数列出方程，并用等式的性质求解.
(1)比a的5倍大3的数恰好等于a的6倍，求a.
(2)张强与刘伟参加植树活动，两人共植树75棵，其中张强比刘伟多植了15棵树，刘伟植了多少棵树？
(1)比a的5倍大3的数恰好等于a的6倍，求a.
(2)张强与刘伟参加植树活动，两人共植树75棵，其中张强比刘伟多植了15棵树，刘伟植了多少棵树？
答案
11.(1)由题意,可得$5a+3=6a$,
$5a+3-5a=6a-5a$,$a=3$.即$a$的值是3.
(2)设刘伟植了$x$棵树,则有
$x+(x+15)=75$,
$x+x+15=75$,
$2x+15=75$,
$2x+15-15=75-15$,
$2x=60$,
$x=30$.
答:刘伟植了30棵树.
$5a+3-5a=6a-5a$,$a=3$.即$a$的值是3.
(2)设刘伟植了$x$棵树,则有
$x+(x+15)=75$,
$x+x+15=75$,
$2x+15=75$,
$2x+15-15=75-15$,
$2x=60$,
$x=30$.
答:刘伟植了30棵树.
解析
【分析】
(1) 先根据文字描述提取等量关系：比a的5倍大3的数等于a的6倍，据此列出一元一次方程，再利用等式的性质1，等式两边同时减去5a，即可求出a的取值。
(2) 先设刘伟植树棵数为未知数x，可得张强植树棵数为x+15，再根据“两人总植树棵数为75”的等量关系列方程，之后依次用等式的性质1两边减15、等式的性质2两边除以2，即可求出未知数的值。
【解析】
(1) 由题意可列方程：
$5a+3=6a$
根据等式的性质1，两边同时减去$5a$，得：
$5a+3-5a=6a-5a$
化简得：$a=3$
(2) 设刘伟植了$x$棵树，则张强植了$(x+15)$棵树，根据题意列方程：
$x+(x+15)=75$
去括号得：$x+x+15=75$
合并同类项得：$2x+15=75$
根据等式的性质1，两边同时减去15，得：
$2x+15-15=75-15$
化简得：$2x=60$
根据等式的性质2，两边同时除以2，得：
$x=30$
【答案】
(1) $a=3$；(2) 刘伟植了30棵树
【知识点】
列一元一次方程；等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用类题目，主要考查从文字信息中提取等量关系列方程的能力，以及运用等式性质解方程的能力，找准等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
(1) 先根据文字描述提取等量关系：比a的5倍大3的数等于a的6倍，据此列出一元一次方程，再利用等式的性质1，等式两边同时减去5a，即可求出a的取值。
(2) 先设刘伟植树棵数为未知数x，可得张强植树棵数为x+15，再根据“两人总植树棵数为75”的等量关系列方程，之后依次用等式的性质1两边减15、等式的性质2两边除以2，即可求出未知数的值。
【解析】
(1) 由题意可列方程：
$5a+3=6a$
根据等式的性质1，两边同时减去$5a$，得：
$5a+3-5a=6a-5a$
化简得：$a=3$
(2) 设刘伟植了$x$棵树，则张强植了$(x+15)$棵树，根据题意列方程：
$x+(x+15)=75$
去括号得：$x+x+15=75$
合并同类项得：$2x+15=75$
根据等式的性质1，两边同时减去15，得：
$2x+15-15=75-15$
化简得：$2x=60$
根据等式的性质2，两边同时除以2，得：
$x=30$
【答案】
(1) $a=3$；(2) 刘伟植了30棵树
【知识点】
列一元一次方程；等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用类题目，主要考查从文字信息中提取等量关系列方程的能力，以及运用等式性质解方程的能力，找准等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
12.能不能从$(a+3)x = b - 1$得到$x=\dfrac{b - 1}{a + 3}$？为什么？反之，能不能从$x=\dfrac{b - 1}{a + 3}$得到等式$(a+3)x = b - 1$？为什么？
答案
12.不能从$(a+3)x=b-1$得到$x=\frac{b-1}{a+3}$.
因为当$a=-3$时,$a+3=0$,0不能作除数.
能从$x=\frac{b-1}{a+3}$得到等式$(a+3)x=b-1$.
因为根据等式的性质2,把$x=\frac{b-1}{a+3}$两边同时乘$(a+3)$,即可得到等式$(a+3)x=b-1$.
因为当$a=-3$时,$a+3=0$,0不能作除数.
能从$x=\frac{b-1}{a+3}$得到等式$(a+3)x=b-1$.
因为根据等式的性质2,把$x=\frac{b-1}{a+3}$两边同时乘$(a+3)$,即可得到等式$(a+3)x=b-1$.
解析
【分析】
解题需围绕等式的性质2展开思考：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。对于第一个变形：要从$(a+3)x = b - 1$得到$x=\frac{b-1}{a+3}$，需要在等式两边同时除以$a+3$，此时必须先判断$a+3$是否为0，0不能作除数，若$a=-3$则该变形不成立；对于第二个变形：$x=\frac{b-1}{a+3}$是分式形式，本身隐含了分母$a+3≠0$的条件，因此可直接根据等式性质2完成变形。
【解析】
1. 验证从$(a+3)x = b - 1$能否推导$x=\frac{b-1}{a+3}$：
若$a=-3$，则$a+3=0$，而0不能作为除数，因此不能直接在等式两边同时除以$a+3$，故该变形不成立。
2. 验证从$x=\frac{b-1}{a+3}$能否推导$(a+3)x = b - 1$：
$x=\frac{b-1}{a+3}$成立的前提是分母$a+3≠0$，根据等式的性质2，将等式两边同时乘$a+3$，即可得到$(a+3)x = b - 1$，故该变形成立。
【答案】
不能从$(a+3)x=b-1$得到$x=\frac{b-1}{a+3}$，因为当$a=-3$时,$a+3=0$,0不能作除数；能从$x=\frac{b-1}{a+3}$得到等式$(a+3)x = b - 1$，因为根据等式的性质2,把$x=\frac{b-1}{a+3}$两边同时乘$(a+3)$,即可得到等式$(a+3)x = b - 1$。
【知识点】
等式的性质2，0不能作除数
【点评】
本题重点考查等式性质2的应用限制，解题时需注意，等式两边同时除以含字母的式子前，必须先确认该式子不为0，避免遗漏特殊情况出错。
【难度系数】
0.7
解题需围绕等式的性质2展开思考：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。对于第一个变形：要从$(a+3)x = b - 1$得到$x=\frac{b-1}{a+3}$，需要在等式两边同时除以$a+3$，此时必须先判断$a+3$是否为0，0不能作除数，若$a=-3$则该变形不成立；对于第二个变形：$x=\frac{b-1}{a+3}$是分式形式，本身隐含了分母$a+3≠0$的条件，因此可直接根据等式性质2完成变形。
【解析】
1. 验证从$(a+3)x = b - 1$能否推导$x=\frac{b-1}{a+3}$：
若$a=-3$，则$a+3=0$，而0不能作为除数，因此不能直接在等式两边同时除以$a+3$，故该变形不成立。
2. 验证从$x=\frac{b-1}{a+3}$能否推导$(a+3)x = b - 1$：
$x=\frac{b-1}{a+3}$成立的前提是分母$a+3≠0$，根据等式的性质2，将等式两边同时乘$a+3$，即可得到$(a+3)x = b - 1$，故该变形成立。
【答案】
不能从$(a+3)x=b-1$得到$x=\frac{b-1}{a+3}$，因为当$a=-3$时,$a+3=0$,0不能作除数；能从$x=\frac{b-1}{a+3}$得到等式$(a+3)x = b - 1$，因为根据等式的性质2,把$x=\frac{b-1}{a+3}$两边同时乘$(a+3)$,即可得到等式$(a+3)x = b - 1$。
【知识点】
等式的性质2，0不能作除数
【点评】
本题重点考查等式性质2的应用限制，解题时需注意，等式两边同时除以含字母的式子前，必须先确认该式子不为0，避免遗漏特殊情况出错。
【难度系数】
0.7
