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例2 如图3-1-2,在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,点E在CD边上,BE与AC相交于点F,BE = DE.指出图中与△OBF相似的三角形,并说明理由.
解:△ECF ∽ △OBF, △BAF ∽ △OBF. 理由如下:
在矩形ABCD中,AB // CD,OC = OD.
∴ ∠3 = ∠4, ∠3 = ∠2, 即 ∠2 = ∠3 = ∠4.
∵ DE = BE, ∴ ∠1 = ∠2, 即 ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.
∵ ∠CFE = ∠BFO, ∴ △ECF ∽ △OBF.
∵ ∠BFO = ∠AFB, ∴ △BAF ∽ △OBF.
解:△ECF ∽ △OBF, △BAF ∽ △OBF. 理由如下:
在矩形ABCD中,AB // CD,OC = OD.
∴ ∠3 = ∠4, ∠3 = ∠2, 即 ∠2 = ∠3 = ∠4.
∵ DE = BE, ∴ ∠1 = ∠2, 即 ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.
∵ ∠CFE = ∠BFO, ∴ △ECF ∽ △OBF.
∵ ∠BFO = ∠AFB, ∴ △BAF ∽ △OBF.
答案
△ECF ∽ △OBF, △BAF ∽ △OBF. 理由如下:
在矩形ABCD中,AB // CD,OC = OD.
∴ ∠3 = ∠4, ∠3 = ∠2, 即 ∠2 = ∠3 = ∠4.
∵ DE = BE,
∴ ∠1 = ∠2, 即 ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.
∵ ∠CFE = ∠BFO,
∴ △ECF ∽ △OBF.
∵ ∠BFO = ∠AFB,
∴ △BAF ∽ △OBF.
在矩形ABCD中,AB // CD,OC = OD.
∴ ∠3 = ∠4, ∠3 = ∠2, 即 ∠2 = ∠3 = ∠4.
∵ DE = BE,
∴ ∠1 = ∠2, 即 ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.
∵ ∠CFE = ∠BFO,
∴ △ECF ∽ △OBF.
∵ ∠BFO = ∠AFB,
∴ △BAF ∽ △OBF.
解析
【分析】
解题可按照以下思路进行：①首先明确本题优先用“两角对应相等，两三角形相似”的判定定理推导，因为已知条件多和角的等量关系相关；②先利用矩形对边平行、对角线互相平分且相等的性质，推导得到∠2=∠3=∠4；③再结合BE=DE的等腰三角形条件，得到∠1=∠2，进而推出四组角相等；④最后寻找和△OBF有对顶角、公共角的三角形，验证两角对应相等即可确定相似三角形。
【解析】
在矩形ABCD中,AB // CD,OC = OD.
∴ ∠3 = ∠4, ∠3 = ∠2, 即 ∠2 = ∠3 = ∠4.
∵ DE = BE,
∴ ∠1 = ∠2, 即 ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.
∵ ∠CFE和∠BFO是对顶角，∠CFE = ∠BFO,
∴ △ECF ∽ △OBF.
∵ ∠BFO和∠AFB是公共角，∠BFO = ∠AFB,
∴ △BAF ∽ △OBF.
【答案】
△ECF ∽ △OBF, △BAF ∽ △OBF.
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查学生对矩形、等腰三角形性质的掌握程度，以及运用两角对应相等判定相似三角形的能力，解题关键是梳理清楚角之间的等量转换关系，挖掘对顶角、公共角的隐含条件。
【难度系数】
0.7
解题可按照以下思路进行：①首先明确本题优先用“两角对应相等，两三角形相似”的判定定理推导，因为已知条件多和角的等量关系相关；②先利用矩形对边平行、对角线互相平分且相等的性质，推导得到∠2=∠3=∠4；③再结合BE=DE的等腰三角形条件，得到∠1=∠2，进而推出四组角相等；④最后寻找和△OBF有对顶角、公共角的三角形，验证两角对应相等即可确定相似三角形。
【解析】
在矩形ABCD中,AB // CD,OC = OD.
∴ ∠3 = ∠4, ∠3 = ∠2, 即 ∠2 = ∠3 = ∠4.
∵ DE = BE,
∴ ∠1 = ∠2, 即 ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.
∵ ∠CFE和∠BFO是对顶角，∠CFE = ∠BFO,
∴ △ECF ∽ △OBF.
∵ ∠BFO和∠AFB是公共角，∠BFO = ∠AFB,
∴ △BAF ∽ △OBF.
【答案】
△ECF ∽ △OBF, △BAF ∽ △OBF.
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查学生对矩形、等腰三角形性质的掌握程度，以及运用两角对应相等判定相似三角形的能力，解题关键是梳理清楚角之间的等量转换关系，挖掘对顶角、公共角的隐含条件。
【难度系数】
0.7
例3 如图3-1-3,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=6cm,OB=8cm,两个点D,E同时分别从A,O两点以1cm/s和2cm/s的速度沿AO,OB方向运动.
(1)几秒后以点D,O,E为顶点的三角形与△AOB相似?
(2)以点O为原点,AO,OB所在直线为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,将△DOE向右平移DO的长得到△OD'E',求△DOE与△AOB相似时点E'的坐标.
分析:(1)设x s后△DOE与△AOB相似,这时OD=6−x,OE=2x.
由∠DOE=∠AOB=90°知,可能有△EOD∽△AOB或△DOE∽△AOB两种情况,
由此可得$\frac{OD}{OB}=\frac{OE}{OA}$,或$\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OB}$, 即$\frac{6-x}{8}=\frac{2x}{6}$,或$\frac{6-x}{6}=\frac{2x}{8}$.
解上面两个方程,得$x=1\frac{7}{11}$,或$x=2.4$.
∴点D,E运动$1\frac{7}{11}$s或2.4s时,△DOE与△AOB相似.
(2)由$x=1\frac{7}{11}$,得点$D(-4\frac{4}{11},0)$,点$E(0,3\frac{3}{11})$;
由$x=2.4$,得点$D(-3.6,0),E(0,4.8)$. ∴点E'的坐标为$(4\frac{4}{11},3\frac{3}{11})$或$(3.6,4.8)$.
(1)几秒后以点D,O,E为顶点的三角形与△AOB相似?
(2)以点O为原点,AO,OB所在直线为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,将△DOE向右平移DO的长得到△OD'E',求△DOE与△AOB相似时点E'的坐标.
分析:(1)设x s后△DOE与△AOB相似,这时OD=6−x,OE=2x.
由∠DOE=∠AOB=90°知,可能有△EOD∽△AOB或△DOE∽△AOB两种情况,
由此可得$\frac{OD}{OB}=\frac{OE}{OA}$,或$\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OB}$, 即$\frac{6-x}{8}=\frac{2x}{6}$,或$\frac{6-x}{6}=\frac{2x}{8}$.
解上面两个方程,得$x=1\frac{7}{11}$,或$x=2.4$.
∴点D,E运动$1\frac{7}{11}$s或2.4s时,△DOE与△AOB相似.
(2)由$x=1\frac{7}{11}$,得点$D(-4\frac{4}{11},0)$,点$E(0,3\frac{3}{11})$;
由$x=2.4$,得点$D(-3.6,0),E(0,4.8)$. ∴点E'的坐标为$(4\frac{4}{11},3\frac{3}{11})$或$(3.6,4.8)$.
答案
(1) 设x s后△DOE与△AOB相似,这时OD=6−x,OE=2x.
由∠DOE=∠AOB=90°知,可能有△EOD∽△AOB或△DOE∽△AOB两种情况,
由此可得$\frac{OD}{OB}=\frac{OE}{OA}$,或$\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OB}$, 即$\frac{6-x}{8}=\frac{2x}{6}$,或$\frac{6-x}{6}=\frac{2x}{8}$.
解上面两个方程,得$x=1\frac{7}{11}$,或$x=2.4$.
∴点D,E运动$1\frac{7}{11}$s或2.4s时,△DOE与△AOB相似.
(2) 由$x=1\frac{7}{11}$,得点$D(-4\frac{4}{11},0)$,点$E(0,3\frac{3}{11})$;
由$x=2.4$,得点$D(-3.6,0),E(0,4.8)$.
∴点E'的坐标为$(4\frac{4}{11},3\frac{3}{11})$或$(3.6,4.8)$.
由∠DOE=∠AOB=90°知,可能有△EOD∽△AOB或△DOE∽△AOB两种情况,
由此可得$\frac{OD}{OB}=\frac{OE}{OA}$,或$\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OB}$, 即$\frac{6-x}{8}=\frac{2x}{6}$,或$\frac{6-x}{6}=\frac{2x}{8}$.
解上面两个方程,得$x=1\frac{7}{11}$,或$x=2.4$.
∴点D,E运动$1\frac{7}{11}$s或2.4s时,△DOE与△AOB相似.
(2) 由$x=1\frac{7}{11}$,得点$D(-4\frac{4}{11},0)$,点$E(0,3\frac{3}{11})$;
由$x=2.4$,得点$D(-3.6,0),E(0,4.8)$.
∴点E'的坐标为$(4\frac{4}{11},3\frac{3}{11})$或$(3.6,4.8)$.
解析
【分析】
(1) 本题为直角三角形相似的动点问题，首先设运动时间为x s，根据点的运动速度和方向，表示出△DOE的两条直角边长度：OD=6-x，OE=2x。由于两个三角形均为直角三角形，直角相等，相似时直角边的对应关系有两种，需要分类讨论，分别根据相似三角形对应边成比例列方程求解，即可得到运动时间。
(2) 先根据第一问求出的两个时间值，计算对应时刻点D、E的坐标；△DOE向右平移DO的长度，平移规律为横坐标加DO的长度、纵坐标不变，点E原横坐标为0，因此平移后E'的横坐标等于DO的长度，纵坐标与E的纵坐标相同，代入计算即可得到E'的坐标。
【解析】
(1) 设x s后以D、O、E为顶点的三角形与△AOB相似。
由题意得：AD=x cm，OE=2x cm，因此$OD=OA-AD=(6-x)\ \mathrm{cm}$。
∵$∠ DOE=∠ AOB=90°$，直角三角形相似分两种情况：
① 当$△ EOD ∽ △ AOB$时，对应边成比例：$\frac{OD}{OB}=\frac{OE}{OA}$，代入得$\frac{6-x}{8}=\frac{2x}{6}$，
交叉相乘化简得：$22x=36$，解得$x=1\frac{7}{11}$；
② 当$△ DOE ∽ △ AOB$时，对应边成比例：$\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OB}$，代入得$\frac{6-x}{6}=\frac{2x}{8}$，
交叉相乘化简得：$20x=48$，解得$x=2.4$。
(2) ① 当$x=1\frac{7}{11}$时，$OD=4\frac{4}{11}\ \mathrm{cm}$，$OE=3\frac{3}{11}\ \mathrm{cm}$，因此$D(-4\frac{4}{11},0)$，$E(0,3\frac{3}{11})$，
向右平移$4\frac{4}{11}$个单位后，$E'$的横坐标为$0+4\frac{4}{11}=4\frac{4}{11}$，纵坐标不变，即$E'(4\frac{4}{11},3\frac{3}{11})$；
② 当$x=2.4$时，$OD=3.6\ \mathrm{cm}$，$OE=4.8\ \mathrm{cm}$，因此$D(-3.6,0)$，$E(0,4.8)$，
向右平移3.6个单位后，$E'$的横坐标为$0+3.6=3.6$，纵坐标不变，即$E'(3.6,4.8)$。
【答案】
(1) $1\frac{7}{11}\ \mathrm{s}$或$2.4\ \mathrm{s}$；
(2) $(4\frac{4}{11},3\frac{3}{11})$或$(3.6,4.8)$
【知识点】
相似三角形的判定，分类讨论思想，平移的坐标规律
【点评】
本题是相似三角形与动点、平移结合的典型习题，解题关键是明确直角三角形相似时存在两种对应关系，避免漏解，同时要熟练掌握图形平移时的坐标变化规律，准确表示动点对应的线段长度是解题的基础。
【难度系数】
0.7
(1) 本题为直角三角形相似的动点问题，首先设运动时间为x s，根据点的运动速度和方向，表示出△DOE的两条直角边长度：OD=6-x，OE=2x。由于两个三角形均为直角三角形，直角相等，相似时直角边的对应关系有两种，需要分类讨论，分别根据相似三角形对应边成比例列方程求解，即可得到运动时间。
(2) 先根据第一问求出的两个时间值，计算对应时刻点D、E的坐标；△DOE向右平移DO的长度，平移规律为横坐标加DO的长度、纵坐标不变，点E原横坐标为0，因此平移后E'的横坐标等于DO的长度，纵坐标与E的纵坐标相同，代入计算即可得到E'的坐标。
【解析】
(1) 设x s后以D、O、E为顶点的三角形与△AOB相似。
由题意得：AD=x cm，OE=2x cm，因此$OD=OA-AD=(6-x)\ \mathrm{cm}$。
∵$∠ DOE=∠ AOB=90°$，直角三角形相似分两种情况：
① 当$△ EOD ∽ △ AOB$时，对应边成比例：$\frac{OD}{OB}=\frac{OE}{OA}$，代入得$\frac{6-x}{8}=\frac{2x}{6}$，
交叉相乘化简得：$22x=36$，解得$x=1\frac{7}{11}$；
② 当$△ DOE ∽ △ AOB$时，对应边成比例：$\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OB}$，代入得$\frac{6-x}{6}=\frac{2x}{8}$，
交叉相乘化简得：$20x=48$，解得$x=2.4$。
(2) ① 当$x=1\frac{7}{11}$时，$OD=4\frac{4}{11}\ \mathrm{cm}$，$OE=3\frac{3}{11}\ \mathrm{cm}$，因此$D(-4\frac{4}{11},0)$，$E(0,3\frac{3}{11})$，
向右平移$4\frac{4}{11}$个单位后，$E'$的横坐标为$0+4\frac{4}{11}=4\frac{4}{11}$，纵坐标不变，即$E'(4\frac{4}{11},3\frac{3}{11})$；
② 当$x=2.4$时，$OD=3.6\ \mathrm{cm}$，$OE=4.8\ \mathrm{cm}$，因此$D(-3.6,0)$，$E(0,4.8)$，
向右平移3.6个单位后，$E'$的横坐标为$0+3.6=3.6$，纵坐标不变，即$E'(3.6,4.8)$。
【答案】
(1) $1\frac{7}{11}\ \mathrm{s}$或$2.4\ \mathrm{s}$；
(2) $(4\frac{4}{11},3\frac{3}{11})$或$(3.6,4.8)$
【知识点】
相似三角形的判定，分类讨论思想，平移的坐标规律
【点评】
本题是相似三角形与动点、平移结合的典型习题，解题关键是明确直角三角形相似时存在两种对应关系，避免漏解，同时要熟练掌握图形平移时的坐标变化规律，准确表示动点对应的线段长度是解题的基础。
【难度系数】
0.7
