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三、解答题
1. 指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项.
1. 指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项.
答案
1.
| 函数解析式 | 二次项系数 | 一次项系数 | 常数项 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y=-0.9x^2+2x-3$ | -0.9 | 2 | -3 |
| $y=-2x^2-7$ | -2 | 0 | -7 |
| $y= -x^2+x$ | -1 | 1 | 0 |
| 函数解析式 | 二次项系数 | 一次项系数 | 常数项 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y=-0.9x^2+2x-3$ | -0.9 | 2 | -3 |
| $y=-2x^2-7$ | -2 | 0 | -7 |
| $y= -x^2+x$ | -1 | 1 | 0 |
解析
【分析】
首先要明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a,b,c$为常数），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时只需将给出的二次函数和一般形式一一对应即可，注意：如果函数缺少某一项，说明该项的系数为0，同时要注意系数的正负符号，不要遗漏负号。
接下来逐个分析三个函数：
1. 对于$y=-0.9x^2+2x-3$，直接对应一般形式找各项系数即可；
2. 对于$y=-2x^2-7$，函数没有一次项，所以一次项系数为0；
3. 对于$y=-x^2+x$，函数没有常数项，所以常数项为0。
【解析】
根据二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a,b,c$为常数），对三个函数逐一分析：
1. 对$y=-0.9x^2+2x-3$，对应可得二次项系数为$-0.9$，一次项系数为$2$，常数项为$-3$；
2. 对$y=-2x^2-7$，可变形为$y=-2x^2+0x-7$，对应可得二次项系数为$-2$，一次项系数为$0$，常数项为$-7$；
3. 对$y=-x^2+x$，可变形为$y=-x^2+1x+0$，对应可得二次项系数为$-1$，一次项系数为$1$，常数项为$0$。
整理结果如下表：
| 函数解析式 | 二次项系数 | 一次项系数 | 常数项 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y=-0.9x^2+2x-3$ | -0.9 | 2 | -3 |
| $y=-2x^2-7$ | -2 | 0 | -7 |
| $y= -x^2+x$ | -1 | 1 | 0 |
【答案】
| 函数解析式 | 二次项系数 | 一次项系数 | 常数项 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y=-0.9x^2+2x-3$ | -0.9 | 2 | -3 |
| $y=-2x^2-7$ | -2 | 0 | -7 |
| $y= -x^2+x$ | -1 | 1 | 0 |
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 二次函数的一般形式
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是掌握二次函数一般形式中各项系数的对应关系，解题时要注意不要遗漏系数的负号，缺少某一项时对应系数为0，避免出现漏写0、符号错误的问题。
【难度系数】
0.9
首先要明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a,b,c$为常数），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时只需将给出的二次函数和一般形式一一对应即可，注意：如果函数缺少某一项，说明该项的系数为0，同时要注意系数的正负符号，不要遗漏负号。
接下来逐个分析三个函数：
1. 对于$y=-0.9x^2+2x-3$，直接对应一般形式找各项系数即可；
2. 对于$y=-2x^2-7$，函数没有一次项，所以一次项系数为0；
3. 对于$y=-x^2+x$，函数没有常数项，所以常数项为0。
【解析】
根据二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a,b,c$为常数），对三个函数逐一分析：
1. 对$y=-0.9x^2+2x-3$，对应可得二次项系数为$-0.9$，一次项系数为$2$，常数项为$-3$；
2. 对$y=-2x^2-7$，可变形为$y=-2x^2+0x-7$，对应可得二次项系数为$-2$，一次项系数为$0$，常数项为$-7$；
3. 对$y=-x^2+x$，可变形为$y=-x^2+1x+0$，对应可得二次项系数为$-1$，一次项系数为$1$，常数项为$0$。
整理结果如下表：
| 函数解析式 | 二次项系数 | 一次项系数 | 常数项 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y=-0.9x^2+2x-3$ | -0.9 | 2 | -3 |
| $y=-2x^2-7$ | -2 | 0 | -7 |
| $y= -x^2+x$ | -1 | 1 | 0 |
【答案】
| 函数解析式 | 二次项系数 | 一次项系数 | 常数项 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y=-0.9x^2+2x-3$ | -0.9 | 2 | -3 |
| $y=-2x^2-7$ | -2 | 0 | -7 |
| $y= -x^2+x$ | -1 | 1 | 0 |
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 二次函数的一般形式
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是掌握二次函数一般形式中各项系数的对应关系，解题时要注意不要遗漏系数的负号，缺少某一项时对应系数为0，避免出现漏写0、符号错误的问题。
【难度系数】
0.9
2. 已知直角三角形两条直角边的长的和为10 cm. 设这个直角三角形的一条直角边的长为x cm，面积为S cm²，求S与x之间的函数关系式.
答案
2. 由题意,得另一条直角边的长为(10-x)cm,则$S=\dfrac{1}{2}x(10-x)=-\dfrac{1}{2}x^2 + 5x(0＜x＜10)$.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据两条直角边的和为10cm，用含x的代数式表示出另一条直角边的长度；第二步，回忆直角三角形的面积公式：面积=1/2×两条直角边的乘积，将两条直角边的长度代入公式，即可推导出S与x的关系式；第三步，结合边长为正数的实际意义，确定自变量x的取值范围，保证函数关系式符合实际情况。
【解析】
解：已知一条直角边长为x cm，两条直角边的长度和为10 cm，因此另一条直角边的长为$(10-x)$ cm。
根据直角三角形面积公式，可得：
$S=\dfrac{1}{2} × x × (10-x)$
整理后得：$S=-\dfrac{1}{2}x^2 +5x$
结合边长为正数的实际要求，可得$\begin{cases}x＞0 \\10-x＞0 \end{cases}$，解得$0＜x＜10$。
综上，S与x的函数关系式为$S=-\dfrac{1}{2}x^2 + 5x(0＜x＜10)$。
【答案】
$S=-\dfrac{1}{2}x^2 + 5x(0＜x＜10)$
【知识点】
直角三角形面积计算，列二次函数关系式，自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题，核心是结合几何图形性质找到等量关系列函数式，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免漏写范围导致结果不完整。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，根据两条直角边的和为10cm，用含x的代数式表示出另一条直角边的长度；第二步，回忆直角三角形的面积公式：面积=1/2×两条直角边的乘积，将两条直角边的长度代入公式，即可推导出S与x的关系式；第三步，结合边长为正数的实际意义，确定自变量x的取值范围，保证函数关系式符合实际情况。
【解析】
解：已知一条直角边长为x cm，两条直角边的长度和为10 cm，因此另一条直角边的长为$(10-x)$ cm。
根据直角三角形面积公式，可得：
$S=\dfrac{1}{2} × x × (10-x)$
整理后得：$S=-\dfrac{1}{2}x^2 +5x$
结合边长为正数的实际要求，可得$\begin{cases}x＞0 \\10-x＞0 \end{cases}$，解得$0＜x＜10$。
综上，S与x的函数关系式为$S=-\dfrac{1}{2}x^2 + 5x(0＜x＜10)$。
【答案】
$S=-\dfrac{1}{2}x^2 + 5x(0＜x＜10)$
【知识点】
直角三角形面积计算，列二次函数关系式，自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题，核心是结合几何图形性质找到等量关系列函数式，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免漏写范围导致结果不完整。
【难度系数】
0.7
3. 已知函数$y=(a-1)x^2+4x-3$（$a$为常数）.
(1)当$a$取何值时，此函数为一次函数？
(2)当$a$取何值时，此函数为二次函数？你能分别说出二次项系数、一次项系数和常数项吗？
(1)当$a$取何值时，此函数为一次函数？
(2)当$a$取何值时，此函数为二次函数？你能分别说出二次项系数、一次项系数和常数项吗？
答案
3. (1)a=1
(2)a≠1；a-1,4,-3
(2)a≠1；a-1,4,-3
解析
【分析】
解答本题需紧扣一次函数和二次函数的定义特征思考：
1. 一次函数要求自变量x的最高次数为1，即原式中不能存在x²项，因此需令x²的系数为0，据此列方程求解a的取值；
2. 二次函数要求自变量x的最高次数为2，即原式中x²项必须存在，因此需令x²的系数不为0，据此列不等式求解a的取值，再对应识别各项系数即可。
【解析】
(1) 若函数$y=(a-1)x^2+4x-3$为一次函数，则二次项系数为0，即：
$a-1=0$
解得$a=1$，此时函数为$y=4x-3$，符合一次函数定义。
(2) 若函数$y=(a-1)x^2+4x-3$为二次函数，则二次项系数不为0，即：
$a-1≠0$
解得$a≠1$，此时该二次函数的二次项系数为$a-1$，一次项系数为$4$，常数项为$-3$。
【答案】
(1)$a=1$
(2)$a≠1$；二次项系数为$a-1$，一次项系数为$4$，常数项为$-3$
【知识点】
1. 一次函数的定义
2. 二次函数的概念
【点评】
本题是基础概念辨析题，解题核心是明确一次函数、二次函数对最高次项系数的要求，需注意二次函数隐含二次项系数不为0的限制条件，避免漏写取值范围。
【难度系数】
0.9
解答本题需紧扣一次函数和二次函数的定义特征思考：
1. 一次函数要求自变量x的最高次数为1，即原式中不能存在x²项，因此需令x²的系数为0，据此列方程求解a的取值；
2. 二次函数要求自变量x的最高次数为2，即原式中x²项必须存在，因此需令x²的系数不为0，据此列不等式求解a的取值，再对应识别各项系数即可。
【解析】
(1) 若函数$y=(a-1)x^2+4x-3$为一次函数，则二次项系数为0，即：
$a-1=0$
解得$a=1$，此时函数为$y=4x-3$，符合一次函数定义。
(2) 若函数$y=(a-1)x^2+4x-3$为二次函数，则二次项系数不为0，即：
$a-1≠0$
解得$a≠1$，此时该二次函数的二次项系数为$a-1$，一次项系数为$4$，常数项为$-3$。
【答案】
(1)$a=1$
(2)$a≠1$；二次项系数为$a-1$，一次项系数为$4$，常数项为$-3$
【知识点】
1. 一次函数的定义
2. 二次函数的概念
【点评】
本题是基础概念辨析题，解题核心是明确一次函数、二次函数对最高次项系数的要求，需注意二次函数隐含二次项系数不为0的限制条件，避免漏写取值范围。
【难度系数】
0.9
4. 学校准备将一块长20 m,宽14 m的矩形绿地扩建,如果长和宽都增加x m,设增加的面积是$y\ \mathrm{m}^2$.
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)若要使绿地面积增加$72\ \mathrm{m}^2$,则长与宽都要增加多少米?
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)若要使绿地面积增加$72\ \mathrm{m}^2$,则长与宽都要增加多少米?
答案
4. (1)$y=x^2+34x$
(2)当y=72时,$x^2+34x=72$,解得$x_1=2$,$x_2=-36$(不合题意,舍去),
∴若要使绿地面积增加72 m²,长与宽都要增加2 m.
(2)当y=72时,$x^2+34x=72$,解得$x_1=2$,$x_2=-36$(不合题意,舍去),
∴若要使绿地面积增加72 m²,长与宽都要增加2 m.
解析
【分析】
(1) 要求y与x的函数表达式，核心等量关系为：增加的面积=扩建后矩形的面积-原矩形的面积。先分别计算原矩形面积和长、宽增加x m后的矩形面积，两者作差后化简即可得到函数关系式，注意x为增加的长度，取值应为正数。
(2) 已知增加的面积为72 m²，即y=72，将其代入第一问得到的函数表达式，即可得到关于x的一元二次方程，解方程后结合x的实际意义舍去不符合要求的负根，就能得到最终结果。
【解析】
(1) 原矩形绿地的面积为：$20 × 14 = 280 \, \mathrm{m}^2$
长和宽都增加x m后，矩形的长为$(20+x)\,\mathrm{m}$，宽为$(14+x)\,\mathrm{m}$，此时面积为$(20+x)(14+x)\,\mathrm{m}^2$
则增加的面积：
$y = (20+x)(14+x) - 280$
展开化简得：
$y = x^2 + 34x\quad(x＞0)$
(2) 当增加的面积$y=72\,\mathrm{m}^2$时，代入函数表达式得：
$x^2 + 34x = 72$
移项整理得：$x^2 + 34x -72 = 0$
因式分解得：$(x+36)(x-2)=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=-36$
由于增加的长度不能为负，因此$x=-36$不合题意，舍去。
【答案】
(1)$y=x^2+34x$
(2)2 m
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，矩形面积计算
【点评】
本题属于几何场景下的函数与方程综合基础题，解题关键是找准面积变化的等量关系，求解方程后要注意结合实际意义对根进行筛选，是二次函数概念章节的典型常规考题。
【难度系数】
0.8
(1) 要求y与x的函数表达式，核心等量关系为：增加的面积=扩建后矩形的面积-原矩形的面积。先分别计算原矩形面积和长、宽增加x m后的矩形面积，两者作差后化简即可得到函数关系式，注意x为增加的长度，取值应为正数。
(2) 已知增加的面积为72 m²，即y=72，将其代入第一问得到的函数表达式，即可得到关于x的一元二次方程，解方程后结合x的实际意义舍去不符合要求的负根，就能得到最终结果。
【解析】
(1) 原矩形绿地的面积为：$20 × 14 = 280 \, \mathrm{m}^2$
长和宽都增加x m后，矩形的长为$(20+x)\,\mathrm{m}$，宽为$(14+x)\,\mathrm{m}$，此时面积为$(20+x)(14+x)\,\mathrm{m}^2$
则增加的面积：
$y = (20+x)(14+x) - 280$
展开化简得：
$y = x^2 + 34x\quad(x＞0)$
(2) 当增加的面积$y=72\,\mathrm{m}^2$时，代入函数表达式得：
$x^2 + 34x = 72$
移项整理得：$x^2 + 34x -72 = 0$
因式分解得：$(x+36)(x-2)=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=-36$
由于增加的长度不能为负，因此$x=-36$不合题意，舍去。
【答案】
(1)$y=x^2+34x$
(2)2 m
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，矩形面积计算
【点评】
本题属于几何场景下的函数与方程综合基础题，解题关键是找准面积变化的等量关系，求解方程后要注意结合实际意义对根进行筛选，是二次函数概念章节的典型常规考题。
【难度系数】
0.8
