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例2 用简便方法计算：$3000^2 - 2998×3002$.
解 原式$=3000^2 - (3000 - 2)×(3000 + 2) = 3000^2 - (3000^2 - 4) = 4$.
以用“平
两个因式
解题要点
利用平方差公式简算时，可以用“平均数±差额”作为两个因式相乘.
解 原式$=3000^2 - (3000 - 2)×(3000 + 2) = 3000^2 - (3000^2 - 4) = 4$.
以用“平
两个因式
解题要点
利用平方差公式简算时，可以用“平均数±差额”作为两个因式相乘.
答案
解：
原式$=3000^2 - (3000 - 2)×(3000 + 2)$
$=3000^2 - (3000^2 - 2^2)$
$=3000^2 - 3000^2 + 4$
$=4$
原式$=3000^2 - (3000 - 2)×(3000 + 2)$
$=3000^2 - (3000^2 - 2^2)$
$=3000^2 - 3000^2 + 4$
$=4$
解析
【分析】
观察算式可知，直接计算2998×3002的运算量较大，我们可以发现2998和3002都接近整千数3000，且2998=3000-2，3002=3000+2，恰好符合平方差公式中(a-b)(a+b)的结构，因此将乘积部分改写为平方差形式展开后，可与前面的3000²项抵消，实现简便计算。
【解析】
原式$=3000^2 - (3000 - 2)×(3000 + 2)$
$=3000^2 - (3000^2 - 2^2)$
$=3000^2 - 3000^2 + 4$
$=4$
【答案】
$4$
【知识点】
平方差公式，有理数简便运算
【点评】
本题是利用平方差公式简化大数运算的典型习题，解题关键是观察到相乘的两个数与同一整数值的差值互为相反数，进而构造平方差公式的结构，省去繁琐的大数乘法计算，有效提升运算正确率。
【难度系数】
0.8
观察算式可知，直接计算2998×3002的运算量较大，我们可以发现2998和3002都接近整千数3000，且2998=3000-2，3002=3000+2，恰好符合平方差公式中(a-b)(a+b)的结构，因此将乘积部分改写为平方差形式展开后，可与前面的3000²项抵消，实现简便计算。
【解析】
原式$=3000^2 - (3000 - 2)×(3000 + 2)$
$=3000^2 - (3000^2 - 2^2)$
$=3000^2 - 3000^2 + 4$
$=4$
【答案】
$4$
【知识点】
平方差公式，有理数简便运算
【点评】
本题是利用平方差公式简化大数运算的典型习题，解题关键是观察到相乘的两个数与同一整数值的差值互为相反数，进而构造平方差公式的结构，省去繁琐的大数乘法计算，有效提升运算正确率。
【难度系数】
0.8
1. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（
A.$(a-2b)(a-2b)$
B.$(a-2b)(-a+2b)$
C.$(-a-2b)(a-2b)$
D.$(-a-2b)(a+2b)$
C
）A.$(a-2b)(a-2b)$
B.$(a-2b)(-a+2b)$
C.$(-a-2b)(a-2b)$
D.$(-a-2b)(a+2b)$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断式子能否用平方差公式计算，首先需明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘时，其中一组项完全相同，另一组项互为相反数，满足该特征即可使用平方差公式。解题时需逐个分析每个选项的两个因式，分别对比两项是否符合“一组相同、一组相反”的要求即可。
【解析】
平方差公式的标准形式为：$\boxed{(m+n)(m-n)=m^2-n^2}$，核心特征是两个因式中存在相同项$m$，以及互为相反数的项$n$和$-n$。
逐一分析选项：
选项A：$(a-2b)(a-2b)$中两个因式的两项均完全相同，属于完全平方公式的适用场景，不符合平方差公式要求；
选项B：$(a-2b)(-a+2b)=-(a-2b)(a-2b)$，两个因式的两项均互为相反数，属于完全平方公式的变形，不符合要求；
选项C：$(-a-2b)(a-2b)$中，相同项为$-2b$，互为相反数的项为$-a$和$a$，可改写为$(-2b -a)(-2b +a)$，完全符合平方差公式的结构，可使用平方差公式计算；
选项D：$(-a-2b)(a+2b)=-(a+2b)(a+2b)$，两项均互为相反数，属于完全平方公式的变形，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式的结构特征，整式乘法公式识别
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特点，注意区分平方差公式与完全平方公式的适用场景，避免混淆两类乘法公式的使用条件。
【难度系数】
0.8
要判断式子能否用平方差公式计算，首先需明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘时，其中一组项完全相同，另一组项互为相反数，满足该特征即可使用平方差公式。解题时需逐个分析每个选项的两个因式，分别对比两项是否符合“一组相同、一组相反”的要求即可。
【解析】
平方差公式的标准形式为：$\boxed{(m+n)(m-n)=m^2-n^2}$，核心特征是两个因式中存在相同项$m$，以及互为相反数的项$n$和$-n$。
逐一分析选项：
选项A：$(a-2b)(a-2b)$中两个因式的两项均完全相同，属于完全平方公式的适用场景，不符合平方差公式要求；
选项B：$(a-2b)(-a+2b)=-(a-2b)(a-2b)$，两个因式的两项均互为相反数，属于完全平方公式的变形，不符合要求；
选项C：$(-a-2b)(a-2b)$中，相同项为$-2b$，互为相反数的项为$-a$和$a$，可改写为$(-2b -a)(-2b +a)$，完全符合平方差公式的结构，可使用平方差公式计算；
选项D：$(-a-2b)(a+2b)=-(a+2b)(a+2b)$，两项均互为相反数，属于完全平方公式的变形，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式的结构特征，整式乘法公式识别
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特点，注意区分平方差公式与完全平方公式的适用场景，避免混淆两类乘法公式的使用条件。
【难度系数】
0.8
2. 计算$(x+3y)(x-3y)$的结果是（
A.$x^2 -6xy -9y^2$
B.$x^2 -9y^2$
C.$x^2 +9y^2$
D.$x^2 +6xy -9y^2$
B
）A.$x^2 -6xy -9y^2$
B.$x^2 -9y^2$
C.$x^2 +9y^2$
D.$x^2 +6xy -9y^2$
答案
2. B
解析
【分析】
本题考查整式的乘法运算，首先观察式子的结构：是两个二项式相乘，其中有一项x完全相同，另一项3y和-3y互为相反数，符合平方差公式的结构特征，我们可以直接套用平方差公式快速求解，也可以用多项式乘多项式的法则展开后合并同类项得到结果。解题时首先要明确平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$中对应的a、b分别是什么，再代入计算即可。
【解析】
方法一：利用平方差公式计算
平方差公式为：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$
在$(x+3y)(x-3y)$中，相同项$a=x$，互为相反数的项$b=3y$，代入公式得：
$\begin{aligned}(x+3y)(x-3y)&=x^2-(3y)^2\\&=x^2-9y^2\end{aligned}$
方法二：利用多项式乘多项式法则计算
根据多项式乘多项式法则，用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，再合并同类项：
$\begin{aligned}(x+3y)(x-3y)&=x· x + x·(-3y) + 3y· x + 3y·(-3y)\\&=x^2-3xy+3xy-9y^2\\&=x^2-9y^2\end{aligned}$
综上，计算结果为$x^2-9y^2$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式乘法运算
3. 合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查对平方差公式结构特征的识别与应用，熟练掌握平方差公式中“相同项”和“相反项”的辨别方法，即可快速得出结果，也可通过常规多项式乘法验证答案，解题门槛较低。
【难度系数】
0.9
本题考查整式的乘法运算，首先观察式子的结构：是两个二项式相乘，其中有一项x完全相同，另一项3y和-3y互为相反数，符合平方差公式的结构特征，我们可以直接套用平方差公式快速求解，也可以用多项式乘多项式的法则展开后合并同类项得到结果。解题时首先要明确平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$中对应的a、b分别是什么，再代入计算即可。
【解析】
方法一：利用平方差公式计算
平方差公式为：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$
在$(x+3y)(x-3y)$中，相同项$a=x$，互为相反数的项$b=3y$，代入公式得：
$\begin{aligned}(x+3y)(x-3y)&=x^2-(3y)^2\\&=x^2-9y^2\end{aligned}$
方法二：利用多项式乘多项式法则计算
根据多项式乘多项式法则，用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，再合并同类项：
$\begin{aligned}(x+3y)(x-3y)&=x· x + x·(-3y) + 3y· x + 3y·(-3y)\\&=x^2-3xy+3xy-9y^2\\&=x^2-9y^2\end{aligned}$
综上，计算结果为$x^2-9y^2$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式乘法运算
3. 合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查对平方差公式结构特征的识别与应用，熟练掌握平方差公式中“相同项”和“相反项”的辨别方法，即可快速得出结果，也可通过常规多项式乘法验证答案，解题门槛较低。
【难度系数】
0.9
3. 若$(a^2 + b^2 + 1)(a^2 + b^2 - 1) = 35$，则
$a^2 + b^2 =$（
A.3
B.6
C.$\pm3$
D.$\pm6$
$a^2 + b^2 =$（
B
）A.3
B.6
C.$\pm3$
D.$\pm6$
答案
3. B
解析
【分析】
解题时先观察等式左边的结构，发现两个括号中相同的部分是$a^2+b^2$，相反的部分是+1和-1，符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的形式，因此可以将$a^2+b^2$看作一个整体进行代换，先利用平方差公式展开计算，再结合平方的非负性对结果进行取舍即可。
【解析】
设$x = a^2 + b^2$，根据平方的非负性可知$x≥0$。
原等式可转化为：
$(x + 1)(x - 1) = 35$
根据平方差公式展开得：
$x^2 - 1 = 35$
移项计算得：
$x^2 = 36$
解得$x=6$或$x=-6$。
因为$x=a^2+b^2≥0$，所以$x=-6$不符合题意，舍去。
因此$a^2 + b^2 = 6$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、平方的非负性、整体代换思想
【点评】
本题是平方差公式应用的典型题型，解题核心是通过整体代换将复杂的式子转化为符合平方差公式的结构，同时要注意平方数的非负性，避免因忽略取值范围错选负结果。
【难度系数】
0.7
解题时先观察等式左边的结构，发现两个括号中相同的部分是$a^2+b^2$，相反的部分是+1和-1，符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的形式，因此可以将$a^2+b^2$看作一个整体进行代换，先利用平方差公式展开计算，再结合平方的非负性对结果进行取舍即可。
【解析】
设$x = a^2 + b^2$，根据平方的非负性可知$x≥0$。
原等式可转化为：
$(x + 1)(x - 1) = 35$
根据平方差公式展开得：
$x^2 - 1 = 35$
移项计算得：
$x^2 = 36$
解得$x=6$或$x=-6$。
因为$x=a^2+b^2≥0$，所以$x=-6$不符合题意，舍去。
因此$a^2 + b^2 = 6$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、平方的非负性、整体代换思想
【点评】
本题是平方差公式应用的典型题型，解题核心是通过整体代换将复杂的式子转化为符合平方差公式的结构，同时要注意平方数的非负性，避免因忽略取值范围错选负结果。
【难度系数】
0.7
4. 计算 $103 × 97$ 的结果为
9 991
.答案
4. 9 991
解析
【分析】
观察两个乘数103和97的数字特征，二者都接近整百数100，可将103改写为100+3，97改写为100-3，此时算式刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，套用公式计算即可避免复杂的多位数竖式运算，快速得出结果。
【解析】
解：$\begin{aligned}103×97&=(100+3)(100-3)\\&=100^2 - 3^2\\&=10000 - 9\\&=9991\end{aligned}$
【答案】
9991
【知识点】
平方差公式；有理数简便运算
【点评】
本题考查平方差公式在乘法运算中的实际应用，解题关键是准确识别乘数的数字特征，将其变形为符合平方差公式的结构，能够大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
观察两个乘数103和97的数字特征，二者都接近整百数100，可将103改写为100+3，97改写为100-3，此时算式刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，套用公式计算即可避免复杂的多位数竖式运算，快速得出结果。
【解析】
解：$\begin{aligned}103×97&=(100+3)(100-3)\\&=100^2 - 3^2\\&=10000 - 9\\&=9991\end{aligned}$
【答案】
9991
【知识点】
平方差公式；有理数简便运算
【点评】
本题考查平方差公式在乘法运算中的实际应用，解题关键是准确识别乘数的数字特征，将其变形为符合平方差公式的结构，能够大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
5. 计算：$2×(3+1)×(3^2+1)×(3^4+1)×(3^8+1)×(3^{16}+1)+1=$
$3^{32}$
.答案
5. $3^{32}$
解析
【分析】
观察算式结构，发现每个括号内均为“3的2的整数次幂加1”的形式，可利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$简化计算。首项的2恰好可以改写为$3-1$，刚好能和第一个括号$(3+1)$匹配组成平方差公式的结构，后续每一步计算得到的差式都能和下一个括号继续套用平方差公式，逐步化简即可得到结果。
【解析】
解：原式$=(3-1)×(3+1)×(3^2+1)×(3^4+1)×(3^8+1)×(3^{16}+1)+1$
$=(3^2-1)×(3^2+1)×(3^4+1)×(3^8+1)×(3^{16}+1)+1$
$=(3^4-1)×(3^4+1)×(3^8+1)×(3^{16}+1)+1$
$=(3^8-1)×(3^8+1)×(3^{16}+1)+1$
$=(3^{16}-1)×(3^{16}+1)+1$
$=3^{32}-1+1$
$=3^{32}$
【答案】
$3^{32}$
【知识点】
平方差公式、凑项巧算、乘方运算
【点评】
本题是平方差公式的典型应用题型，解题核心是通过观察因式特征，改写首项构造出平方差公式的适用条件，连续套用公式即可快速求解，避免了逐项计算的繁琐，考察对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
观察算式结构，发现每个括号内均为“3的2的整数次幂加1”的形式，可利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$简化计算。首项的2恰好可以改写为$3-1$，刚好能和第一个括号$(3+1)$匹配组成平方差公式的结构，后续每一步计算得到的差式都能和下一个括号继续套用平方差公式，逐步化简即可得到结果。
【解析】
解：原式$=(3-1)×(3+1)×(3^2+1)×(3^4+1)×(3^8+1)×(3^{16}+1)+1$
$=(3^2-1)×(3^2+1)×(3^4+1)×(3^8+1)×(3^{16}+1)+1$
$=(3^4-1)×(3^4+1)×(3^8+1)×(3^{16}+1)+1$
$=(3^8-1)×(3^8+1)×(3^{16}+1)+1$
$=(3^{16}-1)×(3^{16}+1)+1$
$=3^{32}-1+1$
$=3^{32}$
【答案】
$3^{32}$
【知识点】
平方差公式、凑项巧算、乘方运算
【点评】
本题是平方差公式的典型应用题型，解题核心是通过观察因式特征，改写首项构造出平方差公式的适用条件，连续套用公式即可快速求解，避免了逐项计算的繁琐，考察对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
6. 计算：
(1) $3(2a+1)(-2a+1)-(\dfrac{3}{2}a - 3)·(3 + \dfrac{3}{2}a);$
(2) $a^4 - (1 - a)(1 + a)(1 + a^2).$
(1) $3(2a+1)(-2a+1)-(\dfrac{3}{2}a - 3)·(3 + \dfrac{3}{2}a);$
(2) $a^4 - (1 - a)(1 + a)(1 + a^2).$
答案
(1) $12-\dfrac{57}{4}a^2$ (2) $2a^4-1$
解析
【分析】
这两道整式计算题均可以通过平方差公式简化计算，解题思路如下：
1. 解题前先回忆平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，核心是识别出两个相乘的多项式中相同的项（对应公式里的$a$）和互为相反数的项（对应公式里的$b$）。
2. 第(1)题：先将$(2a+1)(-2a+1)$调整为$(1+2a)(1-2a)$，将$(\frac{3}{2}a - 3)(3 + \frac{3}{2}a)$调整为$(\frac{3}{2}a - 3)(\frac{3}{2}a + 3)$，两个部分均符合平方差公式的形式，先分别套用公式展开，再去括号、合并同类项得到结果。
3. 第(2)题：从左到右依次对相邻的符合平方差形式的多项式套用公式，先算$(1-a)(1+a)=1-a^2$，再将结果和$(1+a^2)$相乘再次套用平方差公式，最后和$a^4$合并化简即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3(1+2a)(1-2a)-[(\frac{3}{2}a)^2 - 3^2]\\&=3×(1^2 - (2a)^2) - (\frac{9}{4}a^2 - 9)\\&=3×(1 - 4a^2) - \frac{9}{4}a^2 + 9\\&=3 - 12a^2 - \frac{9}{4}a^2 + 9\\&=12 - \frac{57}{4}a^2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^4 - [(1-a)(1+a)](1+a^2)\\&=a^4 - (1 - a^2)(1 + a^2)\\&=a^4 - (1 - a^4)\\&=a^4 - 1 + a^4\\&=2a^4 - 1\end{aligned}$
【答案】
(1) $12-\dfrac{57}{4}a^2$ (2) $2a^4-1$
【知识点】
1. 平方差公式 2. 整式混合运算 3. 去括号法则
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用，解题的关键是准确识别符合平方差公式的整式结构，优先套用公式简化计算，可有效减少计算量，避免直接展开多项式时出现计算错误。
【难度系数】
0.8
这两道整式计算题均可以通过平方差公式简化计算，解题思路如下：
1. 解题前先回忆平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，核心是识别出两个相乘的多项式中相同的项（对应公式里的$a$）和互为相反数的项（对应公式里的$b$）。
2. 第(1)题：先将$(2a+1)(-2a+1)$调整为$(1+2a)(1-2a)$，将$(\frac{3}{2}a - 3)(3 + \frac{3}{2}a)$调整为$(\frac{3}{2}a - 3)(\frac{3}{2}a + 3)$，两个部分均符合平方差公式的形式，先分别套用公式展开，再去括号、合并同类项得到结果。
3. 第(2)题：从左到右依次对相邻的符合平方差形式的多项式套用公式，先算$(1-a)(1+a)=1-a^2$，再将结果和$(1+a^2)$相乘再次套用平方差公式，最后和$a^4$合并化简即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3(1+2a)(1-2a)-[(\frac{3}{2}a)^2 - 3^2]\\&=3×(1^2 - (2a)^2) - (\frac{9}{4}a^2 - 9)\\&=3×(1 - 4a^2) - \frac{9}{4}a^2 + 9\\&=3 - 12a^2 - \frac{9}{4}a^2 + 9\\&=12 - \frac{57}{4}a^2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^4 - [(1-a)(1+a)](1+a^2)\\&=a^4 - (1 - a^2)(1 + a^2)\\&=a^4 - (1 - a^4)\\&=a^4 - 1 + a^4\\&=2a^4 - 1\end{aligned}$
【答案】
(1) $12-\dfrac{57}{4}a^2$ (2) $2a^4-1$
【知识点】
1. 平方差公式 2. 整式混合运算 3. 去括号法则
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用，解题的关键是准确识别符合平方差公式的整式结构，优先套用公式简化计算，可有效减少计算量，避免直接展开多项式时出现计算错误。
【难度系数】
0.8
7. 利用平方差公式计算：
(1) $37×43$；
(2) $6.9×7.1$。
(1) $37×43$；
(2) $6.9×7.1$。
答案
7. 解 (1) $37×43=(40-3)×(40+3)=40^2-3^2=1\ 600-9=1\ 591$.
(2) $6.9×7.1=(7-0.1)×(7+0.1)=7^2-0.1^2=49-0.01=48.99$.
(2) $6.9×7.1=(7-0.1)×(7+0.1)=7^2-0.1^2=49-0.01=48.99$.
解析
【分析】
要利用平方差公式计算两个数的乘积，首先需明确平方差公式的结构特征：$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，即两个数的和与这两个数的差的乘积，等于它们的平方差。解题时先观察两个乘数的特征，找到它们的中间数$a$，将两个乘数分别表示为$a-b$和$a+b$的形式，再代入平方差公式计算即可，比直接笔算乘法更简便。
(1)中37和43都接近40，可写成$40-3$和$40+3$；(2)中6.9和7.1都接近7，可写成$7-0.1$和$7+0.1$，均符合平方差公式的结构。
【解析】
(1) 计算$37×43$：
先将两个乘数变形为平方差结构：$37 = 40 - 3$，$43 = 40 + 3$
代入平方差公式：
$37×43=(40-3)×(40+3)=40^2 - 3^2$
分别计算平方得：$40^2=1600$，$3^2=9$
计算差值：$1600 - 9 = 1591$
(2) 计算$6.9×7.1$：
先将两个乘数变形为平方差结构：$6.9 = 7 - 0.1$，$7.1 = 7 + 0.1$
代入平方差公式：
$6.9×7.1=(7 - 0.1)×(7 + 0.1)=7^2 - 0.1^2$
分别计算平方得：$7^2=49$，$0.1^2=0.01$
计算差值：$49 - 0.01 = 48.99$
【答案】
(1) $\boxed{1591}$；(2) $\boxed{48.99}$
【知识点】
平方差公式；乘法简便运算
【点评】
本题是平方差公式在简便计算中的典型应用，核心考查对平方差公式结构的识别和变形能力，熟练掌握凑中间数的变形方法，能有效降低多位数乘法的计算量，提升计算准确率。
【难度系数】
0.9
要利用平方差公式计算两个数的乘积，首先需明确平方差公式的结构特征：$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，即两个数的和与这两个数的差的乘积，等于它们的平方差。解题时先观察两个乘数的特征，找到它们的中间数$a$，将两个乘数分别表示为$a-b$和$a+b$的形式，再代入平方差公式计算即可，比直接笔算乘法更简便。
(1)中37和43都接近40，可写成$40-3$和$40+3$；(2)中6.9和7.1都接近7，可写成$7-0.1$和$7+0.1$，均符合平方差公式的结构。
【解析】
(1) 计算$37×43$：
先将两个乘数变形为平方差结构：$37 = 40 - 3$，$43 = 40 + 3$
代入平方差公式：
$37×43=(40-3)×(40+3)=40^2 - 3^2$
分别计算平方得：$40^2=1600$，$3^2=9$
计算差值：$1600 - 9 = 1591$
(2) 计算$6.9×7.1$：
先将两个乘数变形为平方差结构：$6.9 = 7 - 0.1$，$7.1 = 7 + 0.1$
代入平方差公式：
$6.9×7.1=(7 - 0.1)×(7 + 0.1)=7^2 - 0.1^2$
分别计算平方得：$7^2=49$，$0.1^2=0.01$
计算差值：$49 - 0.01 = 48.99$
【答案】
(1) $\boxed{1591}$；(2) $\boxed{48.99}$
【知识点】
平方差公式；乘法简便运算
【点评】
本题是平方差公式在简便计算中的典型应用，核心考查对平方差公式结构的识别和变形能力，熟练掌握凑中间数的变形方法，能有效降低多位数乘法的计算量，提升计算准确率。
【难度系数】
0.9
8. 先化简，再求值：$(a^2b - 2ab^2 - b^3) ÷ b - (a + b)(a - b)$，其中 $a = \dfrac{1}{2}$，$b = -1$。
答案
8. 解 原式$=a^2 - 2ab - b^2 - (a^2 - b^2) = a^2 - 2ab - b^2 - a^2 + b^2 = -2ab$.
把 $a=\dfrac{1}{2}$，$b=-1$ 代入上式，
得原式$=-2ab=-2×\dfrac{1}{2}×(-1)=1$.
把 $a=\dfrac{1}{2}$，$b=-1$ 代入上式，
得原式$=-2ab=-2×\dfrac{1}{2}×(-1)=1$.
解析
【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简原式，首先根据多项式除以单项式的法则，将第一个括号内的每一项分别除以b；再利用平方差公式计算$(a+b)(a-b)$，之后去括号、合并同类项得到最简结果；第二步将a、b的数值代入最简式计算即可，计算过程中要注意符号处理，避免出错。
【解析】
解：先对原式进行化简：
1. 计算多项式除以单项式：
$(a^2b - 2ab^2 - b^3) ÷ b = a^2b÷b - 2ab^2÷b - b^3÷b = a^2 - 2ab - b^2$
2. 利用平方差公式计算乘积项：
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
3. 代入原式去括号、合并同类项：
原式$= a^2 - 2ab - b^2 - (a^2 - b^2)$
$= a^2 - 2ab - b^2 - a^2 + b^2$
$= -2ab$
4. 代入数值计算：
把$a=\dfrac{1}{2}$，$b=-1$代入$-2ab$，得：
原式$=-2×\dfrac{1}{2}×(-1)=1$
【答案】
$1$
【知识点】
多项式除以单项式、平方差公式、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，重点考查整式相关运算法则和乘法公式的应用，解题时需注意去括号时的符号变化，代入负数计算时要避免符号错误，熟练掌握基础运算法则和公式是快速准确解题的前提。
【难度系数】
0.8
本题属于整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简原式，首先根据多项式除以单项式的法则，将第一个括号内的每一项分别除以b；再利用平方差公式计算$(a+b)(a-b)$，之后去括号、合并同类项得到最简结果；第二步将a、b的数值代入最简式计算即可，计算过程中要注意符号处理，避免出错。
【解析】
解：先对原式进行化简：
1. 计算多项式除以单项式：
$(a^2b - 2ab^2 - b^3) ÷ b = a^2b÷b - 2ab^2÷b - b^3÷b = a^2 - 2ab - b^2$
2. 利用平方差公式计算乘积项：
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
3. 代入原式去括号、合并同类项：
原式$= a^2 - 2ab - b^2 - (a^2 - b^2)$
$= a^2 - 2ab - b^2 - a^2 + b^2$
$= -2ab$
4. 代入数值计算：
把$a=\dfrac{1}{2}$，$b=-1$代入$-2ab$，得：
原式$=-2×\dfrac{1}{2}×(-1)=1$
【答案】
$1$
【知识点】
多项式除以单项式、平方差公式、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，重点考查整式相关运算法则和乘法公式的应用，解题时需注意去括号时的符号变化，代入负数计算时要避免符号错误，熟练掌握基础运算法则和公式是快速准确解题的前提。
【难度系数】
0.8
