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15. 市面上有一种防溺水手环，将手环系在手臂上，紧急情况下打开手环，手环内气瓶的$\mathrm{CO_2}$会迅速充满气囊，最终使人漂浮于水面.为确保安全，人体浸入水中的体积不能超过人体总体积的五分之四.已知某运动员质量$m_{人} = 61.2\mathrm{ kg}$，平均密度$\rho_{人} = 1.02 × 10^3\mathrm{ kg/m}^3$，$\rho_{水} = 1 × 10^3\mathrm{ kg/m}^3$，$g$取$10\mathrm{ N/kg}$，忽略手环体积和自重.
(1) 求该运动员的重力.
(2) 当人体浸入水中的体积为人体总体积的五分之四时，求该运动员在水中受到的浮力.
(3) 人漂浮时，气囊的体积至少为多大，才能确保运动员的安全?
(1) 求该运动员的重力.
(2) 当人体浸入水中的体积为人体总体积的五分之四时，求该运动员在水中受到的浮力.
(3) 人漂浮时，气囊的体积至少为多大，才能确保运动员的安全?
答案
解：
$ (1) G=m_{人}g=61.2\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=612\ \mathrm{N}$
(2) 人体总体积$V_{人}=\frac{m_{人}}{\rho_{人}}=\frac{61.2\ \mathrm{kg}}{1.02×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3}=0.06\ \mathrm{m}^3$
浸入水中的体积$V_{排}=\frac{4}{5}V_{人}=\frac{4}{5}×0.06\ \mathrm{m}^3=0.048\ \mathrm{m}^3$
浮力$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.048\ \mathrm{m}^3=480\ \mathrm{N}$
(3) 漂浮时$F_{浮}'=G=612\ \mathrm{N}$，总排开体积$V_{排}'=\frac{F_{浮}'}{\rho_{水}g}=\frac{612\ \mathrm{N}}{1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=0.0612\ \mathrm{m}^3$
气囊体积$V_{囊}=V_{排}'-V_{排}=0.0612\ \mathrm{m}^3-0.048\ \mathrm{m}^3=0.0132\ \mathrm{m}^3$
$ (1) G=m_{人}g=61.2\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=612\ \mathrm{N}$
(2) 人体总体积$V_{人}=\frac{m_{人}}{\rho_{人}}=\frac{61.2\ \mathrm{kg}}{1.02×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3}=0.06\ \mathrm{m}^3$
浸入水中的体积$V_{排}=\frac{4}{5}V_{人}=\frac{4}{5}×0.06\ \mathrm{m}^3=0.048\ \mathrm{m}^3$
浮力$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.048\ \mathrm{m}^3=480\ \mathrm{N}$
(3) 漂浮时$F_{浮}'=G=612\ \mathrm{N}$，总排开体积$V_{排}'=\frac{F_{浮}'}{\rho_{水}g}=\frac{612\ \mathrm{N}}{1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=0.0612\ \mathrm{m}^3$
气囊体积$V_{囊}=V_{排}'-V_{排}=0.0612\ \mathrm{m}^3-0.048\ \mathrm{m}^3=0.0132\ \mathrm{m}^3$
解析
【分析】
（1）求运动员的重力，直接利用重力计算公式$G=mg$，将已知的运动员质量和$g$的数值代入即可求解。
（2）要计算此时的浮力，首先需根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$变形求出运动员的总体积，再根据题意得出浸入水中的体积（即排开水的体积），最后利用阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$计算浮力。
（3）人漂浮时，浮力等于人的重力，先根据阿基米德原理求出此时需要的总排开水的体积，再减去人体允许浸入水中的最大体积，即可得到气囊的最小体积，这样才能保证浮力等于重力，使人漂浮且浸入体积不超过规定值。
【解析】
(1) 运动员的重力：
$G=m_{人}g=61.2\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=612\ \mathrm{N}$
(2) 由$\rho=\frac{m}{V}$可得运动员的总体积：
$V_{人}=\frac{m_{人}}{\rho_{人}}=\frac{61.2\ \mathrm{kg}}{1.02×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3}=0.06\ \mathrm{m}^3$
人体浸入水中的体积：
$V_{排}=\frac{4}{5}V_{人}=\frac{4}{5}×0.06\ \mathrm{m}^3=0.048\ \mathrm{m}^3$
根据阿基米德原理，运动员受到的浮力：
$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.048\ \mathrm{m}^3=480\ \mathrm{N}$
(3) 人漂浮时，受到的总浮力等于重力，即$F_{浮}'=G=612\ \mathrm{N}$
由$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$可得此时总排开水的体积：
$V_{排}'=\frac{F_{浮}'}{\rho_{水}g}=\frac{612\ \mathrm{N}}{1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=0.0612\ \mathrm{m}^3$
则气囊的最小体积：
$V_{囊}=V_{排}'-V_{排}=0.0612\ \mathrm{m}^3-0.048\ \mathrm{m}^3=0.0132\ \mathrm{m}^3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{612\ \mathrm{N}}$
(2) $\boldsymbol{480\ \mathrm{N}}$
(3) $\boldsymbol{0.0132\ \mathrm{m}^3}$
【知识点】
重力的计算、阿基米德原理、物体的漂浮条件
【点评】
本题是力学综合应用题，紧密联系生活中的防溺水手环，考查了重力公式、密度公式、阿基米德原理以及漂浮条件的综合运用，要求学生能熟练掌握相关公式，并能将物理知识应用到实际问题中，理清各物理量之间的关系是解题关键。
【难度系数】
0.7
（1）求运动员的重力，直接利用重力计算公式$G=mg$，将已知的运动员质量和$g$的数值代入即可求解。
（2）要计算此时的浮力，首先需根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$变形求出运动员的总体积，再根据题意得出浸入水中的体积（即排开水的体积），最后利用阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$计算浮力。
（3）人漂浮时，浮力等于人的重力，先根据阿基米德原理求出此时需要的总排开水的体积，再减去人体允许浸入水中的最大体积，即可得到气囊的最小体积，这样才能保证浮力等于重力，使人漂浮且浸入体积不超过规定值。
【解析】
(1) 运动员的重力：
$G=m_{人}g=61.2\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=612\ \mathrm{N}$
(2) 由$\rho=\frac{m}{V}$可得运动员的总体积：
$V_{人}=\frac{m_{人}}{\rho_{人}}=\frac{61.2\ \mathrm{kg}}{1.02×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3}=0.06\ \mathrm{m}^3$
人体浸入水中的体积：
$V_{排}=\frac{4}{5}V_{人}=\frac{4}{5}×0.06\ \mathrm{m}^3=0.048\ \mathrm{m}^3$
根据阿基米德原理，运动员受到的浮力：
$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.048\ \mathrm{m}^3=480\ \mathrm{N}$
(3) 人漂浮时，受到的总浮力等于重力，即$F_{浮}'=G=612\ \mathrm{N}$
由$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$可得此时总排开水的体积：
$V_{排}'=\frac{F_{浮}'}{\rho_{水}g}=\frac{612\ \mathrm{N}}{1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=0.0612\ \mathrm{m}^3$
则气囊的最小体积：
$V_{囊}=V_{排}'-V_{排}=0.0612\ \mathrm{m}^3-0.048\ \mathrm{m}^3=0.0132\ \mathrm{m}^3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{612\ \mathrm{N}}$
(2) $\boldsymbol{480\ \mathrm{N}}$
(3) $\boldsymbol{0.0132\ \mathrm{m}^3}$
【知识点】
重力的计算、阿基米德原理、物体的漂浮条件
【点评】
本题是力学综合应用题，紧密联系生活中的防溺水手环，考查了重力公式、密度公式、阿基米德原理以及漂浮条件的综合运用，要求学生能熟练掌握相关公式，并能将物理知识应用到实际问题中，理清各物理量之间的关系是解题关键。
【难度系数】
0.7
