登录
1.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是 (
A.$x^2 + 2x + 1 = x(x + 2) + 1$
B.$a(2a - 4b) = 2a^2 - 4ab$
C.$x(x + 2y) = x^2 + 2xy$
D.$x^2 - 2xy = x(x - 2y)$
D
)A.$x^2 + 2x + 1 = x(x + 2) + 1$
B.$a(2a - 4b) = 2a^2 - 4ab$
C.$x(x + 2y) = x^2 + 2xy$
D.$x^2 - 2xy = x(x - 2y)$
答案
D
解析
因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式。
选项A：$x^{2}+2x + 1=x(x + 2)+1$，结果不是积的形式，不是因式分解。
选项B：$a(2a - 4b)=2a^{2}-4ab$，是从积的形式化为多项式，是整式乘法，不是因式分解。
选项C：$x(x + 2y)=x^{2}+2xy$，是从积的形式化为多项式，是整式乘法，不是因式分解。
选项D：$x^{2}-2xy=x(x - 2y)$，是把多项式化为积的形式，是因式分解。
选项A：$x^{2}+2x + 1=x(x + 2)+1$，结果不是积的形式，不是因式分解。
选项B：$a(2a - 4b)=2a^{2}-4ab$，是从积的形式化为多项式，是整式乘法，不是因式分解。
选项C：$x(x + 2y)=x^{2}+2xy$，是从积的形式化为多项式，是整式乘法，不是因式分解。
选项D：$x^{2}-2xy=x(x - 2y)$，是把多项式化为积的形式，是因式分解。
2.多项式$12ab^2 - 8a^2bc$的公因式是 (
A.$4ab$
B.$4a^2b^2$
C.$2ab$
D.$2abc$
A
)A.$4ab$
B.$4a^2b^2$
C.$2ab$
D.$2abc$
答案
A
解析
多项式$12ab^{2}-8a^{2}bc$中，系数$12$和$8$的最大公约数是$4$，字母$a$在两项中次数最低的幂是$a^{1}$，字母$b$在两项中次数最低的幂是$b^{1}$，字母$c$只在后一项中出现，所以公因式中不包含$c$，则公因式为$4ab$。
3.把$5(a - b) + m(b - a)$提公因式后一个因式是$a - b$，则另一个因式是 (
A.$5 - m$
B.$5 + m$
C.$m - 5$
D.$-m - 5$
A
)A.$5 - m$
B.$5 + m$
C.$m - 5$
D.$-m - 5$
答案
A
解析
原式为 $5(a - b) + m(b - a)$，注意到 $b - a = -(a - b)$，所以原式可以写为 $5(a - b) - m(a - b)$。
提取公因式 $a - b$，得到 $(a - b)(5 - m)$，或等价写作 $- (a - b)(m - 5)$，题目要求提公因式后一个因式是 $a - b$，所以另一个因式应为 $5 - m$ 的相反数的相反数（即本身）或等价形式，即 $5 - m$。
对比选项，发现 $5 - m$ 的等价形式（考虑到符号）在选项中为 $5 - m$。
提取公因式 $a - b$，得到 $(a - b)(5 - m)$，或等价写作 $- (a - b)(m - 5)$，题目要求提公因式后一个因式是 $a - b$，所以另一个因式应为 $5 - m$ 的相反数的相反数（即本身）或等价形式，即 $5 - m$。
对比选项，发现 $5 - m$ 的等价形式（考虑到符号）在选项中为 $5 - m$。
4.下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是 (
A.$a^2 + b^2$
B.$-a^2 + b^2$
C.$-a^2 - b^2$
D.$a^2 - 2ab + b^2$
B
)A.$a^2 + b^2$
B.$-a^2 + b^2$
C.$-a^2 - b^2$
D.$a^2 - 2ab + b^2$
答案
B
解析
平方差公式为 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，其特点为二项式且两项符号相反，分别是某数的平方形式。
选项 A $a^2 + b^2$，两项符号相同，无法用平方差公式分解；
选项 B $-a^2 + b^2 = b^2 - a^2$，符合平方差公式特点，可分解为 $(b + a)(b - a)$；
选项 C $-a^2 - b^2$，两项符号相同，无法用平方差公式分解；
选项 D $a^2 - 2ab + b^2$，为完全平方公式，不符合平方差公式形式。
选项 A $a^2 + b^2$，两项符号相同，无法用平方差公式分解；
选项 B $-a^2 + b^2 = b^2 - a^2$，符合平方差公式特点，可分解为 $(b + a)(b - a)$；
选项 C $-a^2 - b^2$，两项符号相同，无法用平方差公式分解；
选项 D $a^2 - 2ab + b^2$，为完全平方公式，不符合平方差公式形式。
5.如图，长、宽分别为$a$，$b$的长方形的周长为16，面积为12，则$a^2b + ab^2$的值为 (
A.80
B.96
C.192
D.240
B
)A.80
B.96
C.192
D.240
答案
B
解析
根据题意，长方形的周长为16，面积为12，故有：
$ 2a + 2b = 16 $，
$ a + b = 8 $，
$ ab = 12 $，
题目要求 $ a^2b + ab^2 $ 的值，可以将其变形为：
$ a^2b + ab^2 = ab(a + b) $，
将已知条件代入：
$ ab(a + b) = 12 × 8 = 96 $。
所以，$ a^2b + ab^2 $ 的值为96。
$ 2a + 2b = 16 $，
$ a + b = 8 $，
$ ab = 12 $，
题目要求 $ a^2b + ab^2 $ 的值，可以将其变形为：
$ a^2b + ab^2 = ab(a + b) $，
将已知条件代入：
$ ab(a + b) = 12 × 8 = 96 $。
所以，$ a^2b + ab^2 $ 的值为96。
6.已知一个正方形的面积是$x^2 - 4x + 4(x ＜ 2)$，则这个正方形的边长是 (
A.$2 - x$
B.$x - 2$
C.$4 - x$
D.$x - 4$
A
)A.$2 - x$
B.$x - 2$
C.$4 - x$
D.$x - 4$
答案
A
解析
正方形的面积公式为边长的平方，已知面积为$x^2 - 4x + 4$，可将其因式分解为$(2 - x)^2$（或$(x - 2)^2$，但由于$x ＜ 2$，取$2 - x$为正数）。
因边长需为正数，且$x ＜ 2$，故边长为$2 - x$。
因边长需为正数，且$x ＜ 2$，故边长为$2 - x$。
7.下列多项式中，是完全平方式的有 (
①$9a^2 - 12a + 4$;②$16x^2 - 8y^2 + 1$;③$x^2y^2 + 2xy + y^2$;
④$9m^2 + 16n^2 - 20mn$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
)①$9a^2 - 12a + 4$;②$16x^2 - 8y^2 + 1$;③$x^2y^2 + 2xy + y^2$;
④$9m^2 + 16n^2 - 20mn$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
A
解析
①$9a^2 - 12a + 4=(3a)^2-2×3a×2+2^2=(3a-2)^2$，是完全平方式；②$16x^2 - 8y^2 + 1$，$-8y^2$不是两数乘积的2倍，不是完全平方式；③$x^2y^2 + 2xy + y^2=(xy)^2+2xy·1+1^2+y^2-1^2=(xy+1)^2+y^2-1$，多了$y^2-1$，不是完全平方式；④$9m^2 + 16n^2 - 20mn=(3m)^2+(4n)^2-20mn$，$20mn$不是$2×3m×4n=24mn$，不是完全平方式。综上，只有①是完全平方式，共1个。
8.如果$x^2 - 10x + m$是一个完全平方式，那么$m =$ (
A.25
B.$\pm 25$
C.100
D.$\pm 100$
A
)A.25
B.$\pm 25$
C.100
D.$\pm 100$
答案
A
解析
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2 - 2ab+b^2$，在$x^2 - 10x + m$中，$a = x$，$2ab = 10x$，则$2b = 10$，解得$b = 5$，所以$m=b^{2}=5^{2}=25$。
