1. (教材 $ P_{102}T_{12} $ 改编)如图,$ AB $ 为 $ \odot O $ 的直径,$ AC $ 为弦,$ ∠ BAC $ 的平分线交 $ \odot O $ 于点 $ D $,过点 $ D $ 作 $ \odot O $ 的切线交 $ AC $ 的延长线于点 $ E $,$ OE $ 交 $ AD $ 于点 $ F $.
(1)求证:$ DE ⊥ AE $;
(2)若$\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$,求$\frac{DF}{AF}$的值.

(1)证明见解析；(2)5/8

(1)连接OD，∵DE是⊙O切线，∴OD⊥DE。∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD。∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴AC//OD。∵OD⊥DE，∴∠E=∠ODE=90°，即DE⊥AE。
(2)设AB=5k，则AC=3k，OA=OD=5k/2。由(1)知AC//OD，∴△AFE∽△DFO。过A作AE⊥DE，设AE=x，EC=x-3k。由坐标法或勾股定理可得AE=4k。∵△AFE∽△DFO，∴AF/DF=AE/OD=4k/(5k/2)=8/5，∴DF/AF=5/8。

2. 如图,在$△ ABC$中,$ AB = AC $,$ \odot O $ 是$△ ABC$的外接圆,$ BO $ 的延长线交边 $ AC $ 于点 $ D $.
(1)求证:$ ∠ BAC = 2∠ ABD $;
(2)当 $ AD = 2 $,$ CD = 3 $ 时,求 $ BC $ 的长.

(1)证明见解析；(2)5√2/2

(1)连接OA。∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，⊙O是△ABC的外接圆，∴O在BC的垂直平分线上，又AB=AC，∴BC的垂直平分线平分∠BAC，即OA平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAO。∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABD，∴∠BAC=2∠ABD。
(2)∵AD=2，CD=3，∴AC=AD+CD=5，∵AB=AC，∴AB=5。设∠ABD=α，则∠BAC=2α，∠ABC=∠ACB=(180°-2α)/2=90°-α，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=90°-2α。过D作DE//AB交BC于E，∴△CDE∽△CAB，∴CD/CA=DE/AB=CE/CB=3/5，∴DE=3，CE=3/5BC，设BC=x，则BE=BC-CE=2x/5。∵DE//AB，∴∠EDB=∠ABD=α。在△BDE中，由正弦定理：BE/sinα=DE/sin∠DBC，即(2x/5)/sinα=3/sin(90°-2α)。∵sin(90°-2α)=cos2α，由(1)知∠BAC=2α，在△ABC中，cos2α=(AB²+AC²-BC²)/(2AB·AC)=(25+25-x²)/50=(50-x²)/50。又由sin²α=(1-cos2α)/2，且由∠BAC=2α，在△ABD中，由正弦定理AB/sin∠ADB=AD/sinα，∠ADB=180°-3α，sin∠ADB=sin3α=3sinα-4sin³α，可得5/(3sinα-4sin³α)=2/sinα，解得sin²α=1/8，cos2α=1-2sin²α=3/4。代入(2x/5)/sinα=3/(3/4)，解得x=5√2/2，即BC=5√2/2。

3. 如图,$ AB $ 是$ \odot O $ 的直径,点 $ C $,$ D $ 在$ \odot O $ 上,$ OD $ 平分$ ∠ AOC $,延长 $ DO $ 交$ \odot O $ 于点 $ E $,连接 $ CE $ 交 $ OB $ 于点 $ F $,过点 $ B $ 作$ \odot O $ 的切线交 $ DE $ 的延长线于点 $ P $.若$\frac{OF}{BF}=\frac{5}{6}$,$ PE = 1 $,求$ \odot O $ 的半径.

3/2

设⊙O半径为r，OB=r。由OD平分∠AOC，设∠AOD=∠COD=α，则∠AOC=2α，∠COE=180°-α。OC=OE=r，△OCE为等腰三角形，∠OCE=∠OEC=α/2。
AB为直径，∠ACB=90°。设OF=5k，BF=6k，则OB=11k=r，OF=5r/11，BF=6r/11。
△EFO∽△CFB（AAA），得OE/BC=OF/BF=5/6，BC=6r/5。在Rt△ACB中，AC²+BC²=AB²，AC=8r/5，tanα=AC/BC=4/3，cosα=3/5。
BP为切线，BP⊥OB，P在DE延长线。DE为直径，DE=2r，PE=1。由坐标法或切割线定理，结合PE=r(1-cosα)/cosα=1，代入cosα=3/5，解得r=3/2。