教材母题（九上 $ \mathrm{P}_{102}\mathrm{T}_{12} $ 改编）如图，$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径，$ AD $ 是 $ \odot O $ 的弦，$ C $ 是 $ \overset{\frown}{DB} $ 的中点，过点 $ C $ 的切线分别与 $ AB $，$ AD $ 的延长线交于点 $ E $，$ F $。
(1)求证：$ AF ⊥ EF $；
(2)若 $ \frac{CE}{AE} = \frac{3}{4} $，求 $ \tan ∠ EAF $ 的值。

(1)见解析；(2)24/7

(1)连接OC，∵EF是⊙O切线，∴OC⊥EF。∵C是$\overset{\frown}{DB}$中点，∴$\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}$，∴∠CAD=∠CAB。∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB，∴∠OCA=∠CAD，∴OC//AF，∴AF⊥EF。
(2)设CE=3k，AE=4k，⊙O半径为r，则OE=AE-OA=4k-r。在Rt△OCE中，OC²+CE²=OE²，即r²+(3k)²=(4k-r)²，解得r=7k/8。∵OC//AF，∴△ECO∽△EFA，∴OC/AF=OE/AE，即(7k/8)/AF=(25k/8)/4k，得AF=28k/25。同理CE/EF=OE/AE，即3k/EF=(25k/8)/4k，得EF=96k/25。在Rt△AEF中，tan∠EAF=EF/AF=24/7。

【教材变式 1】 如图，$ AB $ 为 $ \odot O $ 的直径，$ AE $ 是 $ \odot O $ 的弦，$ C $ 是 $ \overset{\frown}{EB} $ 的中点，过点 $ C $ 的切线分别与 $ AE $，$ AB $ 的延长线交于点 $ D $，$ F $。
(1)求证：$ ∠ EAB + ∠ F = 90^{\circ} $；
(2)连接 $ OD $。若 $ \cos ∠ DAF = \frac{3}{5} $，求 $ \tan ∠ ODF $ 的值。

(1)见解析；(2)5/4

(1)连接OC，∵CF是⊙O切线，∴OC⊥CF，∠OCF=90°，∴∠COF+∠F=90°。∵C是$\overset{\frown}{EB}$中点，∴$\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{CB}$，∠COB=弧CB度数。∠EAB是圆周角，∠EAB=1/2弧EB度数=弧CB度数，∴∠EAB=∠COB=∠COF，∴∠EAB+∠F=90°。
(2)由(1)知∠ADF=90°，cos∠DAF=3/5，设AD=3m，AF=5m，则DF=4m。∵AD⊥DF，OC⊥DF，∴AD//OC，△FOC∽△FAD，OC/AD=FO/FA。设半径OC=OA=r，FO=AF-OA=5m-r，∴r/(3m)=(5m-r)/5m，解得r=15m/8。FC=OC·FA/AD=(15m/8)·5m/(3m)=25m/8，CD=DF-FC=4m-25m/8=7m/8？（修正：CD=DF-FC=4m - (OC·FA)/AD=4m - (15m/8·5m)/(3m)=4m -25m/8=7m/8错误，应为FC=OC·DF/AD=(15m/8)·4m/(3m)=5m/2，CD=4m -5m/2=3m/2）。在Rt△OCD中，OC=15m/8，CD=3m/2=12m/8，tan∠ODF=OC/CD=15/12=5/4。

【教材变式 2】 如图，$ D $ 是 $ \odot O $ 的直径 $ AB $ 延长线上一点，$ DC $ 与 $ \odot O $ 相切于点 $ C $，连接 $ BC $，$ AC $。
(1)求证：$ ∠ DCB = ∠ A $；
(2)若 $ \sin ∠ D = \frac{1}{3} $，求 $ \tan ∠ A $ 的值。

(1)见解析；(2)√2/2

(1)连接OC，∵DC是⊙O的切线，∴OC⊥DC，∠OCD=90°。∵AB是直径，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°。又∠OCD=∠OCB+∠DCB=90°，∴∠ACO=∠DCB。∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠DCB=∠A。
(2)设OC=r，在Rt△OCD中，sin∠D=OC/OD=1/3，∴OD=3r。则AD=OA+OD=r+3r=4r，DB=OD-OB=3r-r=2r。∵∠D=∠D，∠DCB=∠A，∴△DCB∽△DAC。在Rt△OCD中，CD=√(OD²-OC²)=√(9r²-r²)=2√2 r。∴BC/AC=DB/DC=2r/(2√2 r)=√2/2，即tan∠A=√2/2。