12.(7分)如图,$\bigtriangleup ABC$为等腰三角形,$O$是底边$BC$的中点,腰$AB$与⊙$O$相切于点$D$.
(1)求证:$AC$是⊙$O$的切线.
(2)已知$\angle BAC = 120^{\circ}$,$BC = 12$,求⊙$O$的半径是多少.

(1)证明见上；(2)3。

(1) 连接OD，过O作OE⊥AC于E。
∵AB与⊙O相切于D，∴OD⊥AB。
∵△ABC为等腰三角形，O是BC中点，∴AO平分∠BAC。
∵OD⊥AB，OE⊥AC，AO平分∠BAC，∴OD=OE。
∵OD为⊙O半径，∴OE=OD为半径，又OE⊥AC，∴AC是⊙O的切线。
(2) ∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°。
∵O是BC中点，BC=12，∴BO=6。
连接OD，∵AB切⊙O于D，∴OD⊥AB，即∠ODB=90°。
在Rt△ODB中，∠B=30°，∴OD=BO·sin30°=6×1/2=3。
即⊙O的半径为3。

13.(8分)如图,$AB$是⊙$O$的弦,$OP\perp OA$,交$AB$于点$P$,过点$B$的直线交$OP$的延长线于点
$C$,且$CP = CB$.
(1)求证:$BC$是⊙$O$的切线.
(2)若⊙$O$的半径为$\sqrt{5}$,$OP = 1$,求$BC$的长.

(1)
证明：
因为$OA = OB$，
所以$\angle OAB=\angle OBA$，
因为$OP\perp OA$，
所以$\angle AOP = 90^{\circ}$，
在$Rt\triangle AOP$中，$\angle OAB+\angle APO = 90^{\circ}$，
因为$CP = CB$，
所以$\angle CPB=\angle CBP$，
又因为$\angle APO=\angle CPB$，
所以$\angle OBA+\angle CBP = 90^{\circ}$，即$\angle OBC = 90^{\circ}$，
所以$OB\perp BC$，
又因为$OB$是$\odot O$的半径，
所以$BC$是$\odot O$的切线。
(2)
设$BC = x$，则$CP=x$，
在$Rt\triangle OBC$中，$OC=OP + PC=1 + x$，$OB=\sqrt{5}$，
由勾股定理$OC^{2}=OB^{2}+BC^{2}$可得：
$(1 + x)^{2}=(\sqrt{5})^{2}+x^{2}$
$1+2x+x^{2}=5+x^{2}$
$2x=4$
$x = 2$
所以$BC$的长为$2$。