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1.计算$a^{5}·\left(\frac{1}{a}\right)^{2}$的结果是(
A.$a$
B.$a^{3}$
C.$a^{6}$
D.$a^{9}$
B
).A.$a$
B.$a^{3}$
C.$a^{6}$
D.$a^{9}$
答案
B
解析
根据指数运算法则，$a^{5} · \left(\frac{1}{a}\right)^{2} = a^{5} · \frac{1}{a^{2}} = a^{5} · a^{-2} = a^{5-2} = a^{3}$。
2.下列运算正确的是(
A.$\frac{m^{4}}{n^{5}}·\frac{n^{3}}{m^{3}}=\frac{m}{n}$
B.$\left(\frac{3x}{4y}\right)^{3}=\frac{3x^{3}}{4y^{3}}$
C.$\left(\frac{2a}{a-b}\right)^{2}=\frac{4a^{2}}{a^{2}-b^{2}}$
D.$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$
D
).A.$\frac{m^{4}}{n^{5}}·\frac{n^{3}}{m^{3}}=\frac{m}{n}$
B.$\left(\frac{3x}{4y}\right)^{3}=\frac{3x^{3}}{4y^{3}}$
C.$\left(\frac{2a}{a-b}\right)^{2}=\frac{4a^{2}}{a^{2}-b^{2}}$
D.$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$
答案
D
解析
A. $\frac{m^{4}}{n^{5}}·\frac{n^{3}}{m^{3}}=\frac{m^{4}·n^{3}}{n^{5}·m^{3}}=\frac{m}{n^{2}}$，A错误；
B. $\left(\frac{3x}{4y}\right)^{3}=\frac{(3x)^{3}}{(4y)^{3}}=\frac{27x^{3}}{64y^{3}}$，B错误；
C. $\left(\frac{2a}{a-b}\right)^{2}=\frac{(2a)^{2}}{(a-b)^{2}}=\frac{4a^{2}}{a^{2}-2ab+b^{2}}$，C错误；
D. $\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}·\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$，D正确。
B. $\left(\frac{3x}{4y}\right)^{3}=\frac{(3x)^{3}}{(4y)^{3}}=\frac{27x^{3}}{64y^{3}}$，B错误；
C. $\left(\frac{2a}{a-b}\right)^{2}=\frac{(2a)^{2}}{(a-b)^{2}}=\frac{4a^{2}}{a^{2}-2ab+b^{2}}$，C错误；
D. $\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}·\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$，D正确。
3.化简$\frac{a+1}{a^{2}-a}÷\frac{a^{2}-1}{a^{2}-2a+1}$的结果是(
A.$\frac{1}{a}$
B.$a$
C.$\frac{a+1}{a-1}$
D.$\frac{a-1}{a+1}$
A
).A.$\frac{1}{a}$
B.$a$
C.$\frac{a+1}{a-1}$
D.$\frac{a-1}{a+1}$
答案
A
解析
原式=$\frac{a+1}{a^2 - a} ÷ \frac{a^2 - 1}{a^2 - 2a + 1}$
=$\frac{a+1}{a(a - 1)} × \frac{(a - 1)^2}{(a - 1)(a + 1)}$
=$\frac{(a + 1)(a - 1)^2}{a(a - 1)(a - 1)(a + 1)}$
=$\frac{1}{a}$
=$\frac{a+1}{a(a - 1)} × \frac{(a - 1)^2}{(a - 1)(a + 1)}$
=$\frac{(a + 1)(a - 1)^2}{a(a - 1)(a - 1)(a + 1)}$
=$\frac{1}{a}$
4.下列运算正确的是(
A.$a· a^{2}=a^{3}$
B.$(a^{2})^{3}=a^{5}$
C.$\left(\frac{a}{b}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{b}$
D.$a^{3}÷ a^{3}=a$
A
).A.$a· a^{2}=a^{3}$
B.$(a^{2})^{3}=a^{5}$
C.$\left(\frac{a}{b}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{b}$
D.$a^{3}÷ a^{3}=a$
答案
A
解析
选项A：根据同底数幂相乘规则，底数不变，指数相加，$a· a^2 = a^{1 + 2}=a^3$，该选项正确。
选项B：根据幂的乘方规则，底数不变，指数相乘，$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6\neq a^5$，该选项错误。
选项C：根据分式的乘方规则，$( \frac{a}{b})^2=\frac{a^2}{b^2}\neq\frac{a^2}{b}$，该选项错误。
选项D：根据同底数幂相除规则，底数不变，指数相减，$a^3÷ a^3=a^{3 - 3}=a^0 = 1\neq a$，该选项错误。
选项B：根据幂的乘方规则，底数不变，指数相乘，$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6\neq a^5$，该选项错误。
选项C：根据分式的乘方规则，$( \frac{a}{b})^2=\frac{a^2}{b^2}\neq\frac{a^2}{b}$，该选项错误。
选项D：根据同底数幂相除规则，底数不变，指数相减，$a^3÷ a^3=a^{3 - 3}=a^0 = 1\neq a$，该选项错误。
5.若$□÷\frac{x^{2}-1}{x}=\frac{1}{x-1}$,则$□$中应填(
A.$\frac{1}{x-1}$
B.$\frac{x}{x-1}$
C.$\frac{x+1}{x}$
D.$\frac{x-1}{x}$
C
).A.$\frac{1}{x-1}$
B.$\frac{x}{x-1}$
C.$\frac{x+1}{x}$
D.$\frac{x-1}{x}$
答案
C
解析
根据题意，设$□$中的式子为$A$，则有$A ÷ \frac{x^{2}-1}{x} = \frac{1}{x-1}$。
根据除法的定义，可将其转化为乘法形式，即$A = \frac{1}{x-1} × \frac{x^{2}-1}{x}$。
对$x^{2}-1$进行因式分解，得到$x^{2}-1 = (x+1)(x-1)$。
将其代入上一步的等式中，得到$A = \frac{1}{x-1} × \frac{(x+1)(x-1)}{x}$。
进行约分，消去$x-1$，得到$A = \frac{x+1}{x}$。
根据除法的定义，可将其转化为乘法形式，即$A = \frac{1}{x-1} × \frac{x^{2}-1}{x}$。
对$x^{2}-1$进行因式分解，得到$x^{2}-1 = (x+1)(x-1)$。
将其代入上一步的等式中，得到$A = \frac{1}{x-1} × \frac{(x+1)(x-1)}{x}$。
进行约分，消去$x-1$，得到$A = \frac{x+1}{x}$。
6.计算:$\frac{2b}{a}·\frac{a^{2}}{4b^{2}c}=$
$\frac{a}{2bc}$
答案
$\frac{a}{2bc}$
解析
原式$=\frac{2b · a^{2}}{a · 4b^{2}c}=\frac{2a^{2}b}{4ab^{2}c}=\frac{a}{2bc}$
7.计算:$\frac{15x^{4}}{ab}÷(-18ax^{3})=$
$-\frac{5x}{6a^{2}b}$
答案
$-\frac{5x}{6a^{2}b}$
解析
本题可根据分式的除法运算法则将除法转化为乘法，再通过约分进行计算。
分式的除法运算法则为：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，即$\frac{A}{B}÷\frac{C}{D}=\frac{A}{B}×\frac{D}{C}(B\neq0,C\neq0,D\neq0)$。
对于$\frac{15x^{4}}{ab}÷(-18ax^{3})$，将其转化为乘法可得：
$\frac{15x^{4}}{ab}×\frac{1}{-18ax^{3}}$
根据分式乘法法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，可得：
$\frac{15x^{4}×1}{ab×(-18ax^{3})}=-\frac{15x^{4}}{18a^{2}bx^{3}}$
再对$-\frac{15x^{4}}{18a^{2}bx^{3}}$进行约分，分子分母同时除以$3x^{3}$，可得：
$-\frac{15x^{4}÷(3x^{3})}{18a^{2}bx^{3}÷(3x^{3})}=-\frac{5x}{6a^{2}b}$
分式的除法运算法则为：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，即$\frac{A}{B}÷\frac{C}{D}=\frac{A}{B}×\frac{D}{C}(B\neq0,C\neq0,D\neq0)$。
对于$\frac{15x^{4}}{ab}÷(-18ax^{3})$，将其转化为乘法可得：
$\frac{15x^{4}}{ab}×\frac{1}{-18ax^{3}}$
根据分式乘法法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，可得：
$\frac{15x^{4}×1}{ab×(-18ax^{3})}=-\frac{15x^{4}}{18a^{2}bx^{3}}$
再对$-\frac{15x^{4}}{18a^{2}bx^{3}}$进行约分，分子分母同时除以$3x^{3}$，可得：
$-\frac{15x^{4}÷(3x^{3})}{18a^{2}bx^{3}÷(3x^{3})}=-\frac{5x}{6a^{2}b}$
8.计算:$\frac{a^{2}-1}{a^{2}+2a}÷\frac{a-1}{a}=$
$\frac{a+1}{a+2}$
答案
$\frac{a+1}{a+2}$
解析
原式$=\frac{(a+1)(a-1)}{a(a+2)}×\frac{a}{a-1}=\frac{a+1}{a+2}$
9.如果$m^{2}+2m-3=0$,那么$\frac{m^{2}+4m+4}{m}÷\frac{m+2}{m^{2}}$的值为
3
答案
3
解析
$\begin{aligned}&\frac{m^{2}+4m+4}{m}÷\frac{m+2}{m^{2}}\\=&\frac{(m+2)^2}{m}×\frac{m^2}{m+2}\\=&m(m+2)\\=&m^2 + 2m\end{aligned}$
因为$m^2 + 2m - 3 = 0$，所以$m^2 + 2m = 3$，原式的值为$3$。
因为$m^2 + 2m - 3 = 0$，所以$m^2 + 2m = 3$，原式的值为$3$。
10.计算:$(a^{2}-2a)÷\frac{a-2}{a}=$
$a^{2}$
答案
$a^{2}$（或填写在对应填空位置的答案形式）
解析
首先，将原式表示为分数形式，即：
$(a^{2} - 2a) ÷ \frac{a - 2}{a} = \frac{a^{2} - 2a}{\frac{a - 2}{a}}$
接着，利用分式的乘除法法则，将除法转化为乘法，即乘以分母的倒数：
$= (a^{2} - 2a) × \frac{a}{a - 2}$
然后，对 $a^{2} - 2a$ 进行因式分解，提取公因式 $a$：
$= a(a - 2) × \frac{a}{a - 2}$
最后，进行约分，$a - 2$ 与 $a - 2$ 相约，得到：
$= a × a = a^{2}$
$(a^{2} - 2a) ÷ \frac{a - 2}{a} = \frac{a^{2} - 2a}{\frac{a - 2}{a}}$
接着，利用分式的乘除法法则，将除法转化为乘法，即乘以分母的倒数：
$= (a^{2} - 2a) × \frac{a}{a - 2}$
然后，对 $a^{2} - 2a$ 进行因式分解，提取公因式 $a$：
$= a(a - 2) × \frac{a}{a - 2}$
最后，进行约分，$a - 2$ 与 $a - 2$ 相约，得到：
$= a × a = a^{2}$
