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22.(11分)如图,抛物线$y=ax^2+6x+c$交$x$轴于$A$,$B$两点,交$y$轴于点$C$,直线$y=x-5$经过点$B$,$C$.
(1)求抛物线的解析式.
(2)过点$A$的直线交直线$BC$于点$M$.
①当$AM\perp BC$时,过抛物线上一动点$P$(不与点$B$,$C$重合)作直线$AM$的平行线,交直线$BC$于点$Q$,若以点$A$,$M$,$P$,$Q$为顶点的四边形是平行四边形,求点$P$的横坐标.
②连接$AC$,当直线$AM$与直线$BC$的夹角等于$\angle ACB$的2倍时,请直接写出点$M$的坐标.
(1)求抛物线的解析式.
(2)过点$A$的直线交直线$BC$于点$M$.
①当$AM\perp BC$时,过抛物线上一动点$P$(不与点$B$,$C$重合)作直线$AM$的平行线,交直线$BC$于点$Q$,若以点$A$,$M$,$P$,$Q$为顶点的四边形是平行四边形,求点$P$的横坐标.
②连接$AC$,当直线$AM$与直线$BC$的夹角等于$\angle ACB$的2倍时,请直接写出点$M$的坐标.
答案
(1) $ y = -x^2 + 6x - 5 $
(2) ① $ 4 $，$ \frac{5 + \sqrt{41}}{2} $，$ \frac{5 - \sqrt{41}}{2} $ ② $ \left( \frac{13}{6}, -\frac{17}{6} \right) $，$ \left( \frac{23}{6}, -\frac{7}{6} \right) $
解析
(1) 对于直线$ y = x - 5 $，令$ x = 0 $，得$ y = -5 $，则$ C(0, -5) $；令$ y = 0 $，得$ x = 5 $，则$ B(5, 0) $。
将$ B(5, 0) $，$ C(0, -5) $代入抛物线$ y = ax^2 + 6x + c $：
代入$ C(0, -5) $：$ c = -5 $
代入$ B(5, 0) $：$ 25a + 30 - 5 = 0 \Rightarrow 25a = -25 \Rightarrow a = -1 $
故抛物线解析式为$ y = -x^2 + 6x - 5 $。
(2) ① 直线$ BC $：$ y = x - 5 $，斜率为1，$ AM \perp BC $，则$ AM $斜率为-1。
$ A(1, 0) $，直线$ AM $：$ y = -x + 1 $。
联立$ AM $与$ BC $：$ -x + 1 = x - 5 \Rightarrow x = 3 $，$ y = -2 $，则$ M(3, -2) $，$ \overrightarrow{AM} = (2, -2) $。
设$ P(t, -t^2 + 6t - 5) $，$ PQ // AM $（斜率-1），直线$ PQ $：$ y - (-t^2 + 6t - 5) = -1(x - t) $，即$ y = -x + t - t^2 + 6t - 5 = -x - t^2 + 7t - 5 $。
联立$ PQ $与$ BC $：$ -x - t^2 + 7t - 5 = x - 5 \Rightarrow x = \frac{-t^2 + 7t}{2} $，则$ Q\left( \frac{-t^2 + 7t}{2}, \frac{-t^2 + 7t}{2} - 5 \right) $。
$ \overrightarrow{PQ} = \left( \frac{-t^2 + 7t}{2} - t, \frac{-t^2 + 7t}{2} - 5 - (-t^2 + 6t - 5) \right) = \left( \frac{-t^2 + 5t}{2}, \frac{t^2 - 5t}{2} \right) $。
四边形$ AMPQ $为平行四边形，则$ \overrightarrow{PQ} = \pm \overrightarrow{AM} $：
$ \overrightarrow{PQ} = (2, -2) $：$ \frac{-t^2 + 5t}{2} = 2 $且$ \frac{t^2 - 5t}{2} = -2 \Rightarrow t^2 - 5t + 4 = 0 \Rightarrow t = 1 $（舍，即A）或$ t = 4 $
$ \overrightarrow{PQ} = (-2, 2) $：$ \frac{-t^2 + 5t}{2} = -2 $且$ \frac{t^2 - 5t}{2} = 2 \Rightarrow t^2 - 5t - 4 = 0 \Rightarrow t = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2} $
综上，$ P $的横坐标为$ 4 $，$ \frac{5 + \sqrt{41}}{2} $，$ \frac{5 - \sqrt{41}}{2} $。
② $ \tan \angle ACB = \frac{2}{3} $，$ \tan 2\angle ACB = \frac{12}{5} $。设$ AM $斜率为$ k $，则$ \left| \frac{k - 1}{1 + k} \right| = \frac{12}{5} $，解得$ k = -\frac{17}{7} $或$ -\frac{7}{17} $。
$ k = -\frac{17}{7} $：直线$ AM $：$ y = -\frac{17}{7}(x - 1) $，联立$ BC $得$ M\left( \frac{13}{6}, -\frac{17}{6} \right) $
$ k = -\frac{7}{17} $：直线$ AM $：$ y = -\frac{7}{17}(x - 1) $，联立$ BC $得$ M\left( \frac{23}{6}, -\frac{7}{6} \right) $
将$ B(5, 0) $，$ C(0, -5) $代入抛物线$ y = ax^2 + 6x + c $：
代入$ C(0, -5) $：$ c = -5 $
代入$ B(5, 0) $：$ 25a + 30 - 5 = 0 \Rightarrow 25a = -25 \Rightarrow a = -1 $
故抛物线解析式为$ y = -x^2 + 6x - 5 $。
(2) ① 直线$ BC $：$ y = x - 5 $，斜率为1，$ AM \perp BC $，则$ AM $斜率为-1。
$ A(1, 0) $，直线$ AM $：$ y = -x + 1 $。
联立$ AM $与$ BC $：$ -x + 1 = x - 5 \Rightarrow x = 3 $，$ y = -2 $，则$ M(3, -2) $，$ \overrightarrow{AM} = (2, -2) $。
设$ P(t, -t^2 + 6t - 5) $，$ PQ // AM $（斜率-1），直线$ PQ $：$ y - (-t^2 + 6t - 5) = -1(x - t) $，即$ y = -x + t - t^2 + 6t - 5 = -x - t^2 + 7t - 5 $。
联立$ PQ $与$ BC $：$ -x - t^2 + 7t - 5 = x - 5 \Rightarrow x = \frac{-t^2 + 7t}{2} $，则$ Q\left( \frac{-t^2 + 7t}{2}, \frac{-t^2 + 7t}{2} - 5 \right) $。
$ \overrightarrow{PQ} = \left( \frac{-t^2 + 7t}{2} - t, \frac{-t^2 + 7t}{2} - 5 - (-t^2 + 6t - 5) \right) = \left( \frac{-t^2 + 5t}{2}, \frac{t^2 - 5t}{2} \right) $。
四边形$ AMPQ $为平行四边形，则$ \overrightarrow{PQ} = \pm \overrightarrow{AM} $：
$ \overrightarrow{PQ} = (2, -2) $：$ \frac{-t^2 + 5t}{2} = 2 $且$ \frac{t^2 - 5t}{2} = -2 \Rightarrow t^2 - 5t + 4 = 0 \Rightarrow t = 1 $（舍，即A）或$ t = 4 $
$ \overrightarrow{PQ} = (-2, 2) $：$ \frac{-t^2 + 5t}{2} = -2 $且$ \frac{t^2 - 5t}{2} = 2 \Rightarrow t^2 - 5t - 4 = 0 \Rightarrow t = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2} $
综上，$ P $的横坐标为$ 4 $，$ \frac{5 + \sqrt{41}}{2} $，$ \frac{5 - \sqrt{41}}{2} $。
② $ \tan \angle ACB = \frac{2}{3} $，$ \tan 2\angle ACB = \frac{12}{5} $。设$ AM $斜率为$ k $，则$ \left| \frac{k - 1}{1 + k} \right| = \frac{12}{5} $，解得$ k = -\frac{17}{7} $或$ -\frac{7}{17} $。
$ k = -\frac{17}{7} $：直线$ AM $：$ y = -\frac{17}{7}(x - 1) $，联立$ BC $得$ M\left( \frac{13}{6}, -\frac{17}{6} \right) $
$ k = -\frac{7}{17} $：直线$ AM $：$ y = -\frac{7}{17}(x - 1) $，联立$ BC $得$ M\left( \frac{23}{6}, -\frac{7}{6} \right) $
