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5.如图,在$\triangle ABC$中,$CD$是$AB$边上的高线,$BE$平分$\angle ABC$,交$CD$于点$E$,$BC=5$,$DE=2$,则
$\triangle BCE$的面积等于(
A.$10$
B.$7$
C.$5$
D.$4$
$\triangle BCE$的面积等于(
C
).A.$10$
B.$7$
C.$5$
D.$4$
答案
C
解析
过点E作EF⊥BC于点F。
∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC，
∴EF=DE=2（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵BC=5，
∴△BCE的面积=$\frac{1}{2}×BC×EF=\frac{1}{2}×5×2=5$。
∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC，
∴EF=DE=2（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵BC=5，
∴△BCE的面积=$\frac{1}{2}×BC×EF=\frac{1}{2}×5×2=5$。
6.如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AC=BC$,$AD$平分$\angle BAC$,交$BC$于点$D$,$DE\perp AB$于点$E$,且
$\triangle DEB$的周长为$5 cm$,则$AB$的长为
$\triangle DEB$的周长为$5 cm$,则$AB$的长为
5cm
.答案
5cm
解析
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DC=DE（角平分线性质）。
∵∠C=90°，AC=BC，∴∠B=45°，又DE⊥AB，∴△DEB为等腰直角三角形，∴DE=EB，故DC=DE=EB。
在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD，DC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE。
∵AC=BC，∴AE=BC=BD+DC=BD+EB。
△DEB周长=DE+EB+BD=EB+EB+BD=2EB+BD=5cm。
又AB=AE+EB=（BD+EB）+EB=BD+2EB=5cm。
∵∠C=90°，AC=BC，∴∠B=45°，又DE⊥AB，∴△DEB为等腰直角三角形，∴DE=EB，故DC=DE=EB。
在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD，DC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE。
∵AC=BC，∴AE=BC=BD+DC=BD+EB。
△DEB周长=DE+EB+BD=EB+EB+BD=2EB+BD=5cm。
又AB=AE+EB=（BD+EB）+EB=BD+2EB=5cm。
7.如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B=40^{\circ}$,三角形的外角$\angle DAC$和$\angle ACF$的平分线交于点$E$,则$\angle AEC=$
70°
.答案
70°
解析
在△ABC中，∠B=40°。∠DAC和∠ACF为外角，由外角性质得∠DAC=∠B+∠ACB，∠ACF=∠B+∠BAC。AE、CE分别平分∠DAC、∠ACF，故∠EAC=1/2∠DAC，∠ECA=1/2∠ACF。∠EAC+∠ECA=1/2(∠DAC+∠ACF)=1/2[(∠B+∠ACB)+(∠B+∠BAC)]=1/2[2∠B+(∠BAC+∠ACB)]。在△ABC中，∠BAC+∠ACB=180°-∠B，代入得∠EAC+∠ECA=1/2[2∠B+180°-∠B]=1/2(∠B+180°)=1/2(40°+180°)=110°。在△AEC中，∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-110°=70°。
8.如图,$\triangle ABC$的三边$AB,BC,AC$的长分别是$20,30,40$,点$O$为$\triangle ABC$的内角平分线的交
点,则$S_{\triangle AOB}:S_{\triangle BOC}:S_{\triangle AOC}=$
点,则$S_{\triangle AOB}:S_{\triangle BOC}:S_{\triangle AOC}=$
2:3:4
.答案
2:3:4
解析
过点O作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F。
∵点O为△ABC内角平分线的交点，∴OD=OE=OF（角平分线性质）。
设OD=OE=OF=h。
则$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}AB· h$，$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}BC· h$，$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}AC· h$。
∴$S_{\triangle AOB}:S_{\triangle BOC}:S_{\triangle AOC}=AB:BC:AC=20:30:40=2:3:4$。
∵点O为△ABC内角平分线的交点，∴OD=OE=OF（角平分线性质）。
设OD=OE=OF=h。
则$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}AB· h$，$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}BC· h$，$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}AC· h$。
∴$S_{\triangle AOB}:S_{\triangle BOC}:S_{\triangle AOC}=AB:BC:AC=20:30:40=2:3:4$。
9.如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC,\angle ACB$的平分线交于点$O$,点$O$到$BC$边的距离$OD$为$3$,且
$\triangle ABC$的周长为$20$,则$\triangle ABC$的面积为
$\triangle ABC$的周长为$20$,则$\triangle ABC$的面积为
30
.答案
30
解析
连接OA，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F。
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE=OD=3。
同理，OF=OD=3。
S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC
=1/2×AB×OE + 1/2×BC×OD + 1/2×AC×OF
=1/2×3×(AB+BC+AC)
=1/2×3×20=30。
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE=OD=3。
同理，OF=OD=3。
S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC
=1/2×AB×OE + 1/2×BC×OD + 1/2×AC×OF
=1/2×3×(AB+BC+AC)
=1/2×3×20=30。
10.如图,$OP$平分$\angle MON$,$PE\perp OM$于点$E$,$PF\perp ON$于点$F$,点$A,B$在$OM,ON$上,且$OA=OB$,
则图中有
则图中有
3
对全等三角形.答案
3
解析
1. △OEP≌△OFP：OP平分∠MON得∠EOP=∠FOP，PE⊥OM、PF⊥ON得∠PEO=∠PFO=90°，OP为公共边，由AAS判定全等。
2. △OAP≌△OBP：OA=OB，∠AOP=∠BOP（OP平分∠MON），OP为公共边，由SAS判定全等。
3. △AEP≌△BFP：由△OEP≌△OFP得PE=PF，由△OAP≌△OBP得AP=BP，∠PEA=∠PFB=90°，由HL判定全等。
共3对全等三角形。
