14.(8分)如图,抛物线$y = - x^{2} + bx + c$与$x$轴交于$A(1,0)$,$B( - 3,0)$两点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)设(1)中的抛物线交$y$轴于点$C$,在该抛物线的对称轴上是否存在点$Q$,使得$\bigtriangleup QAC$的周长最小？若存在,求出点$Q$的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)(1)中抛物线在第二象限的图象上是否存在一点$P$,使$\bigtriangleup PBC$的面积最大？若存在,求$\bigtriangleup PBC$面积的最大值,并求点$P$的坐标;若不存在,说明理由.

(1)$y=-x^2 - 2x + 3$；(2)存在，$Q(-1,2)$；(3)存在，$P(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$，面积最大值$\frac{27}{8}$。

(1) 将点$A(1,0)$，$B(-3,0)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} -1 + b + c = 0 \\ -9 - 3b + c = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=-2 \\ c=3 \end{cases}$，
抛物线解析式为$y=-x^2 - 2x + 3$。
(2) 令$x=0$，得$y=3$，则$C(0,3)$。
抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$。
要使$\triangle QAC$周长最小，需$QA + QC$最小。
$A$与$B$关于对称轴对称，连接$BC$交对称轴于$Q$，此时$QA + QC=QB + QC=BC$最小。
直线$BC$：设$y=kx + d$，将$B(-3,0)$，$C(0,3)$代入得$\begin{cases} -3k + d=0 \\ d=3 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=1 \\ d=3 \end{cases}$，即$y=x + 3$。
对称轴$x=-1$与$BC$交点$Q$：当$x=-1$时，$y=-1 + 3=2$，故$Q(-1,2)$。
(3) 存在。设$P(x,-x^2 - 2x + 3)(-3 ＜ x ＜ 0)$，直线$BC:y=x + 3$。
过$P$作$PD \perp x$轴交$BC$于$D(x,x + 3)$，则$PD=(-x^2 - 2x + 3)-(x + 3)=-x^2 - 3x$。
$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2} × PD × |x_C - x_B|=\frac{1}{2}(-x^2 - 3x) × 3=-\frac{3}{2}x^2 - \frac{9}{2}x$。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-\frac{9}{2}}{2×(-\frac{3}{2})}=-\frac{3}{2}$时，$S_{ max}=-\frac{3}{2}(-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2}(-\frac{3}{2})=\frac{27}{8}$。
此时$y=-(-\frac{3}{2})^2 - 2(-\frac{3}{2}) + 3=\frac{15}{4}$，故$P(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$，面积最大值$\frac{27}{8}$。