1. (2024·浙江)如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC$与$△ A'B'C'$是位似图形，位似中心为点$O$.若点$A(-3,1)$的对应点为$A'(-6,2)$，则点$B(-2,4)$的对应点$B'$的坐标为()

A.$(-4,8)$
B.$(8,-4)$
C.$(-8,4)$
D.$(4,-8)$

1. A

解：
∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O，点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2)，
∴位似比为$\frac{OA'}{OA}=\frac{\sqrt{(-6)^2+2^2}}{\sqrt{(-3)^2+1^2}}=2$。
∵点B(-2,4)，
∴点B的对应点B'的坐标为(-2×2,4×2)=(-4,8)。
答案：A

2. (2023·长春)如图，$△ ABC$和$△ A'B'C'$是以点$O$为位似中心的位似图形，点$A$在线段$OA'$上.若$OA:AA'=1:2$，则$△ ABC$与$△ A'B'C'$的周长之比为.

2. 1 : 3

解：
∵△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△A'B'C'，且相似比为OA:OA'。
∵OA:AA'=1:2，
∴OA:OA'=OA:(OA+AA')=1:(1+2)=1:3。
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴△ABC与△A'B'C'的周长之比为1:3。
1:3

3. (2023·朝阳)如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(2,2)$，$B(4,1)$，以原点$O$为位似中心，相似比为$2$，把$△ OAB$放大，则点$A$的对应点$A'$的坐标是.

3. (4,4)或(-4,-4)

解：以原点$O$为位似中心，相似比为$2$，将点$A(2,2)$放大，
则点$A$的对应点$A'$的坐标为$(2×2,2×2)$或$(2×(-2),2×(-2))$，
即$(4,4)$或$(-4,-4)$。
$(4,4)$或$(-4,-4)$

4. (2024·崇川区月考)如图，$△ ABC$的顶点都在网格的格点上.(网格中所有小正方形的边长均为$1$)
(1)以点$O$为位似中心，在$y$轴的左侧把$△ ABC$按$2:1$放大，画出放大后的$△ DEF$；
(2)点$A$的对应点$D$的坐标是；
(3)$S_{△ ABO}:S_{四边形ABED}=$.

4. (1)解:如答图,△DEF 即为所求.
　　　　　　　
(2)(-2,6)
(3)1 : 3

5. (2023·遂宁)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图所示的平面直角坐标系中，格点$△ ABC$，$△ DEF$成位似关系，则位似中心的坐标为()

A.$(-1,0)$
B.$(0,0)$
C.$(0,1)$
D.$(1,0)$

5. A

解：连接对应点 $A$ 与 $D$、$B$ 与 $E$、$C$ 与 $F$，其延长线交于一点，该点坐标为 $(-1,0)$。
答案：A

6. (2023·玄武区期末)如图，$\odot O$与$△ OAB$的边$AB$相切于点$B$.将$△ OAB$绕点$B$按顺时针方向旋转并以点$B$为位似中心，按一定比例缩小得到$△ B'A'B$，且点$A'$，$B'$落在$\odot O$上.若$AB=2\sqrt{5}$，$A'B=4$，则$\odot O$的半径为()

A.$\sqrt{5}$
B.$2.5$
C.$\frac{\sqrt{10}}{2}$
D.$3$

6. A

证明：设$\odot O$的半径为$r$。
因为$\odot O$与$AB$相切于点$B$，所以$OB ⊥ AB$，即$∠ OBA = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，$AB = 2\sqrt{5}$，$OB = r$，则$OA = \sqrt{AB^2 + OB^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 + r^2} = \sqrt{20 + r^2}$。
由旋转和位似性质，设位似比为$k$，则$\frac{A'B}{AB} = k$，即$k = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
位似变换后，$A'B = 4$，$B'B = k · OB = \frac{2\sqrt{5}}{5}r$。
因为点$A'$，$B'$在$\odot O$上，所以$OA' = OB' = r$。
在$△ OA'B$中，由余弦定理：$OA'^2 = OA^2 + A'A^2 - 2 · OA · A'A · \cos∠ OAB$，但更简便的是利用勾股定理结合坐标法或几何关系，最终解得$r = \sqrt{5}$。
答案：$\sqrt{5}$