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17.【观察发现】劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法,正如木匠刘师傅的“木条画直角法”,如图①,他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角,具体作法如下:
①木条的两端分别记为点M,N,先将木条的端点M与点A重合,任意摆放木条后,另一个端点N的位置记为点B,连接AB;
②木条的端点N固定在点B处,将木条绕点B顺时针旋转一定的角度,端点M的落点记为点C(点A,B,C不在同一条直线上);
③连接CB并延长,将木条沿点C到点B的方向平移,使得端点M与点B重合,端点N在CB延长线上的落点记为点D;
④用另一根足够长的木条画线,连接AD,AC,则画出的$∠ DAC$是直角。
【推理论证】请揭示如图①操作的数学原理根据有关操作信息,写出已知和求证,并进行证明:
如图②,已知:
求证:
证明:
【拓展探究】小亮进一步研究发现,用这种方法作直角存在一定的误差,用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差。如图②,点O在直线l上,请用无刻度的直尺和圆规在图②中作出一个以O为顶点的直角,记作$∠ POQ$,使得直角边OP或OQ在直线l上。保留作图痕迹,不写作法
①木条的两端分别记为点M,N,先将木条的端点M与点A重合,任意摆放木条后,另一个端点N的位置记为点B,连接AB;
②木条的端点N固定在点B处,将木条绕点B顺时针旋转一定的角度,端点M的落点记为点C(点A,B,C不在同一条直线上);
③连接CB并延长,将木条沿点C到点B的方向平移,使得端点M与点B重合,端点N在CB延长线上的落点记为点D;
④用另一根足够长的木条画线,连接AD,AC,则画出的$∠ DAC$是直角。
【推理论证】请揭示如图①操作的数学原理根据有关操作信息,写出已知和求证,并进行证明:
如图②,已知:
$AB=BC=BD$
,求证:
$∠ DAC=90°$
。证明:
【拓展探究】小亮进一步研究发现,用这种方法作直角存在一定的误差,用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差。如图②,点O在直线l上,请用无刻度的直尺和圆规在图②中作出一个以O为顶点的直角,记作$∠ POQ$,使得直角边OP或OQ在直线l上。保留作图痕迹,不写作法
答案
【推理论证】已知: $\boldsymbol{AB=BC=BD}$,
求证: $\boldsymbol{∠ DAC=90°}$。
证明:
$\boldsymbol{∵\ AB=BC=BD}$,
$\boldsymbol{∴\ △ABC}$与$\boldsymbol{△ABD}$是等腰三角形。
$\boldsymbol{∴\ ∠BCA=∠BAC,∠BDA=∠BAD}$。
$\boldsymbol{∴\ ∠BCA+∠BDA=∠BAC+∠BAD=∠DAC}$。
$\boldsymbol{∵\ ∠DAC+∠BCA+∠BDA=180°}$,
$\boldsymbol{∴\ 2∠DAC=180°。∴\ ∠DAC=90°}$。
【拓展探究】如图,$∠POQ$即为所求。（作法不唯一）
求证: $\boldsymbol{∠ DAC=90°}$。
证明:
$\boldsymbol{∵\ AB=BC=BD}$,
$\boldsymbol{∴\ △ABC}$与$\boldsymbol{△ABD}$是等腰三角形。
$\boldsymbol{∴\ ∠BCA=∠BAC,∠BDA=∠BAD}$。
$\boldsymbol{∴\ ∠BCA+∠BDA=∠BAC+∠BAD=∠DAC}$。
$\boldsymbol{∵\ ∠DAC+∠BCA+∠BDA=180°}$,
$\boldsymbol{∴\ 2∠DAC=180°。∴\ ∠DAC=90°}$。
【拓展探究】如图,$∠POQ$即为所求。（作法不唯一）
