1. (2026 扬州市期末)明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千 OA 静止的时候，踏板离地高一尺$(AC=1$尺)，将它往前推进两步$(EB=10$尺)，此时踏板升高离地五尺$(BD=5$尺)，则秋千绳索(OA或 OB)的长度为多少尺？设秋千绳索 OA的长为 x 尺，则可列方程为 （）

A.$x^{2}+10^{2}=(x-1)^{2}$
B.$x^{2}=(x-5)^{2}+10^{2}$
C.$x^{2}=(x-4)^{2}+10^{2}$
D.$x^{2}+10^{2}=(x-4)^{2}$

1. C

2. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,已知两条直角边$AC=4,BC=3$. 将$△ ABC$ 绕斜边中点$O$旋转,使直角顶点与点$B$重合,得到与$△ ABC$ 全等的$△ EDB$,边$BE$和$AC$相交于点$F$,则$EF$的长是（）

A.$\dfrac{7}{8}$
B.$1$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{2}{3}$

2. A

3. 如图,直线 $y=x+b(b＞0)$ 分别交 $x$ 轴、$y$ 轴于点 $A,B$,直线 $y=kx(k＜0)$ 与直线$y=x+b(b＞0)$ 交于点 $C$,点 $C$ 在第二象限,过 $A,B$ 两点分别作 $AD ⊥ OC$ 于点 $D$,$BE ⊥ OC$ 于点 $E$,且 $BE+BO=8,AD=4$,则 $ED$ 的长为 （）

A.2
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$\dfrac{5}{2}$
D.1

3. D 提示:因为点 $A(-b,0),B(0,b),b＞0$,所以 $OA=OB=b$. 易证$△ OAD≌△ BOE$,所以 $OD=BE,OE=AD=4$. 因为 $BE+BO=8$,所以 $BO=8-BE$. 在 $\mathrm{Rt}△ OBE$ 中,根据勾股定理,得 $BO^2=BE^2+OE^2$,即 $(8-BE)^2=BE^2+4^2$,所以 $BE=3$. 所以 $OD=3$,所以 $ED=OE-OD=4-3=1$.

4.（2025 连云港市东海县期中）如图，数轴上点 A 表示的数为 - 1，点 C 表示的数为 1，$BC ⊥ AC$，且 $BC = 1$，以点 A 为圆心，AB长为半径画弧，交数轴正半轴于点 $B'$，则点$B'$所表示的数为.

4. $\sqrt{5}-1$

5. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ A=90^{ \circ }$,$AC=12$,
$AB=9$,$DE ⊥ AC$,$CD=\dfrac{1}{3}BC$,$CE=\dfrac{1}{3}AC$,
$P$是直线$AC$上一点.把$△ CDP$沿$DP$所在的直线翻折,点$C$落在直线$DE$上的点$H$处,则$CP$的长为.

5. 10或$\dfrac{5}{2}$ 提示:当点 $P$ 在点 $E$ 的左侧时,点 $H$ 在 $ED$ 的延长线上. 由折叠的性质,得 $PC=PH,DC=DH$. 由条件,得 $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=15,CD=\dfrac{1}{3}BC=5,CE=\dfrac{1}{3}AC=4,DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=3$,所以 $DH=CD=5$,所以 $EH=ED+DH=8$. 设 $CP=x$, 则 $PH=x,PE=x-4$. 由勾股定理,得 $PH^2-PE^2=EH^2$,即 $x^2-(x-4)^2=64$,解得 $x=10$. 当点 $P$ 在点 $E$ 的右侧时,点 $H$ 在 $DE$ 的延长线上. 易得 $EH=DH-DE=2$. 设 $CP=PH=x$, 则 $PE=CE-CP=4-x$. 同理可得 $PH^2-PE^2=EH^2$,即 $x^2-(4-x)^2=4$,解得 $x=\dfrac{5}{2}$. 综上所述, $CP$ 的长为 10 或 $\dfrac{5}{2}$.

6. 如图,在平面直角坐标系中,直线 $y=$$-\dfrac{4}{3}x+8$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $A,B$,$∠ BAO$ 的平分线与 $y$ 轴交于点 $M$,则 $OM$的长为.

6. 3 提示:过点 $M$ 作 $MH ⊥ AB$ 于点 $H$,则 $∠BHM=∠AHM=90°=∠AOM$. 易证$△ AHM≌△ AOM$,所以 $AH=AO,HM=OM$. 易求得点 $A(6,0),B(0,8)$,即 $AO=6,OB=8$,所以 $AB=10$. 因为 $AH=AO=6$,所以 $BH=AB-AH=4$. 设 $HM=OM=x$, 则 $MB=8-x$. 在 $\mathrm{Rt}△ BMH$ 中, $BH^2+HM^2=MB^2$,即 $4^2+x^2=(8-x)^2$,解得 $x=3$. 所以 $OM=3$.

7.（2025 无锡市惠山区期中）定义：如图，点$M,N$把线段$AB$分割成$AM,MN,BN$，若以$AM,MN,BN$为边的三角形是一个直角三角形，则称$M,N$是线段$AB$的勾股分割点.
（1）如图，已知$M,N$把线段$AB$分割成$AM,MN,BN$，若$AM=2,MN=3$，$BN=\sqrt{5}$，则$M,N$是线段$AB$的勾股分割点吗？请说明理由.
（2）如图，已知$M,N$是线段$AB$的勾股分割点，且$AM$为直角边，若$AM=2$，$AB=7$，求$BN$的长.

7. 解:(1) $M,N$ 是线段 $AB$ 的勾股分割点,理由如下:因为 $AM=2,MN=3,BN=\sqrt{5}$,且 $2^2+(\sqrt{5})^2=3^2$,所以 $AM^2+BN^2=MN^2$. 所以以 $AM,MN,BN$ 为边的三角形是一个直角三角形,所以 $M,N$ 是线段 $AB$ 的勾股分割点.
(2) 设 $BN=x$,则 $MN=7-2-x=5-x$.
①当 $BN$ 为斜边时,根据题意得,$AM^2+MN^2=BN^2$,即 $2^2+(5-x)^2=x^2$,解得 $x=2.9$,所以 $BN$ 的长为 2.9;②当 $MN$ 为斜边时,根据题意,得 $AM^2+BN^2=MN^2$,即 $2^2+x^2=(5-x)^2$,解得 $x=2.1$,所以 $BN$ 的长为 2.1.
综上所述,$BN$ 的长为 2.9 或 2.1.