例1 如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC，BD交于点 O，只添加下列一个条件，能使菱形 ABCD成为正方形的是 （ ）

A. BD=AB B. OA=OB
C. AC $ \bot $ BD D. OD=AC
解析 因为四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，所以 AB=AD，AC $ \bot $ BD.
所以由“菱形ABCD中，AC $ \bot $ BD”不能证明菱形ABCD为正方形.
故 C不符合题意.
因为 BD=AB，
所以 BD=AB=AD.
所以 $ △ A B D $是等边三角形.
所以 $ ∠ B A D=6 0°. $
所以菱形ABCD不是正方形.
故 A不符合题意.
因为 OA=OC $ =\frac{1}{2} AC $ ，OB=OD $ =\frac{1}{2} BD $ ，且 OA=OB
所以 $ \frac{1}{2} AC=\frac{1}{2} BD. $
所以 AC=BD.
所以菱形ABCD是正方形.
故B符合题意.
因为 OD=AC=2OA，所以 $ ∠ O A D≠ 4 5°. $
因为 AB=AD，AC $ \bot $ BD，
所以 $ ∠ O A B=∠ O A D≠ 4 5°. $
所以 $ ∠ B A D=2∠ O A D≠ 9 0°. $
所以菱形ABCD不是正方形.
故D不符合题意.
答案 B

解：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴AB=AD，AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD。
对于选项C：
菱形本身具有AC⊥BD的性质，无法证明菱形ABCD是正方形，故C不符合题意。
对于选项A：
∵BD=AB，且AB=AD，
∴BD=AB=AD，△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=60°，菱形ABCD不是正方形，故A不符合题意。
对于选项B：
∵OA=OB，
∴$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD，即AC=BD，
∴菱形ABCD是正方形（对角线相等的菱形是正方形），故B符合题意。
对于选项D：
∵OD=AC，OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=2OA，
∴$\frac{1}{2}$BD=2OA，即BD=4OA，
可得∠OAD≠45°，则∠BAD=2∠OAD≠90°，
∴菱形ABCD不是正方形，故D不符合题意。
综上，答案为B。