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四、算一算。
一个最简分数，若其分子加一个数，那么这个分数就等于$\frac{5}{7}$，若其分子减去同一个数，那么这个分数就等于$\frac{5}{14}$。原来的最简分数是多少？
一个最简分数，若其分子加一个数，那么这个分数就等于$\frac{5}{7}$，若其分子减去同一个数，那么这个分数就等于$\frac{5}{14}$。原来的最简分数是多少？
答案
$\frac{15}{28}$
解析
我们可以通过以下步骤解题：
1. 观察变化规律：两次操作中分数的分母始终不变，分子分别加、减同一个数，因此两个新分数的分子相加后，刚好是原分数分子的2倍，也就是两个新分数的和等于原分数的2倍。
2. 计算两个新分数的和：
$\frac{5}{7}+\frac{5}{14}=\frac{10}{14}+\frac{5}{14}=\frac{15}{14}$
3. 用和除以2得到原分数：
$\frac{15}{14}÷2=\frac{15}{28}$
4. 验证：$\frac{15+5}{28}=\frac{20}{28}=\frac{5}{7}$，$\frac{15-5}{28}=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}$，且$\frac{15}{28}$是最简分数，符合题目要求。
1. 观察变化规律：两次操作中分数的分母始终不变，分子分别加、减同一个数，因此两个新分数的分子相加后，刚好是原分数分子的2倍，也就是两个新分数的和等于原分数的2倍。
2. 计算两个新分数的和：
$\frac{5}{7}+\frac{5}{14}=\frac{10}{14}+\frac{5}{14}=\frac{15}{14}$
3. 用和除以2得到原分数：
$\frac{15}{14}÷2=\frac{15}{28}$
4. 验证：$\frac{15+5}{28}=\frac{20}{28}=\frac{5}{7}$，$\frac{15-5}{28}=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}$，且$\frac{15}{28}$是最简分数，符合题目要求。
五、先计算，再找规律。
$1-\frac{1}{2}=$
$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=$
$\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=$
根据发现的规律计算：$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\dots-\frac{1}{128}=$（$\quad\quad$）。
$1-\frac{1}{2}=$
$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=$
$\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=$
根据发现的规律计算：$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\dots-\frac{1}{128}=$（$\quad\quad$）。
答案
前三个算式结果依次为$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{8}$，最终算式结果为$\frac{1}{128}$
解析
先计算前三个基础算式：
1. $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
2. $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$
3. $\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$
观察可得规律：分子为1，后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍时，前一个分数减去后一个分数的差，等于后一个分数。
利用规律计算连减算式：
$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\dots-\frac{1}{128}$
$=(1-\frac{1}{2})-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\dots-\frac{1}{128}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\dots-\frac{1}{128}$
$=(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})-\frac{1}{8}-\dots-\frac{1}{128}$
$=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\dots-\frac{1}{128}$
依次递推，最终计算得到的差就等于最后减去的数$\frac{1}{128}$。
1. $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
2. $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$
3. $\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$
观察可得规律：分子为1，后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍时，前一个分数减去后一个分数的差，等于后一个分数。
利用规律计算连减算式：
$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\dots-\frac{1}{128}$
$=(1-\frac{1}{2})-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\dots-\frac{1}{128}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\dots-\frac{1}{128}$
$=(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})-\frac{1}{8}-\dots-\frac{1}{128}$
$=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\dots-\frac{1}{128}$
依次递推，最终计算得到的差就等于最后减去的数$\frac{1}{128}$。
1.准备测量的工具,如三角尺,米尺,卷尺,4个相同的长方体物品(如:牛奶盒,香皂盒,牙膏盒,砖块等)。
2.设计一种长方体物品(如:4盒牛奶,4盒牙膏等)4盒装的包装方案,要求:全部包装,结口忽略不计。
3.将4盒牛奶进行拼摆,尽可能多地找出不同方案。测量每种包装方案的长、宽、高,记录在如下的活动记录单上。
4.计算每种包装方案的表面积和体积,你有什么发现?
活动记录单
2.设计一种长方体物品(如:4盒牛奶,4盒牙膏等)4盒装的包装方案,要求:全部包装,结口忽略不计。
3.将4盒牛奶进行拼摆,尽可能多地找出不同方案。测量每种包装方案的长、宽、高,记录在如下的活动记录单上。
4.计算每种包装方案的表面积和体积,你有什么发现?
活动记录单
答案
包装方案1：长、宽、高为6cm、4cm、40cm，表面积为848cm²，体积为960cm³
包装方案2：长、宽、高为24cm、4cm、10cm，表面积为752cm²，体积为960cm³
包装方案3：长、宽、高为12cm、4cm、20cm，表面积为736cm²，体积为960cm³
发现：无论采用哪种包装方案，包装箱的总体积都等于4个小长方体物品的体积之和，数值完全相等；拼接时重合的面的总面积越大，包装箱的表面积就越小，越节省包装用纸。
包装方案2：长、宽、高为24cm、4cm、10cm，表面积为752cm²，体积为960cm³
包装方案3：长、宽、高为12cm、4cm、20cm，表面积为736cm²，体积为960cm³
发现：无论采用哪种包装方案，包装箱的总体积都等于4个小长方体物品的体积之和，数值完全相等；拼接时重合的面的总面积越大，包装箱的表面积就越小，越节省包装用纸。
解析
我们选取常见的盒装牛奶作为实验对象，先测量得到单盒牛奶的长为6cm、宽为4cm、高为10cm，梳理3种典型的4盒拼摆方案：
1. 方案1：把4盒沿高的方向叠放，让所有长×宽的面重合，得到包装箱长6cm、宽4cm、高为10×4=40cm；
2. 方案2：把4盒沿长的方向一字排成一排，让所有宽×高的面重合，得到包装箱长为6×4=24cm、宽4cm、高10cm；
3. 方案3：先将2盒沿高叠放为1组，共2组，再将2组沿长的方向并排摆放，得到包装箱长为6×2=12cm、宽4cm、高为10×2=20cm；
使用五年级所学公式计算：
长方体表面积公式：$S=2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)$
长方体体积公式：$V=长×宽×高$
最终可得到规律：所有包装方案的总体积都等于4个小长方体的体积之和，数值完全相等；拼接时重合的面的总面积越大，包装箱的表面积越小，越节省包装材料。
注：选取不同的长方体物品，测量得到的长宽高数值不同，最终计算的表面积、体积数值会对应变化，但上述规律不变。
1. 方案1：把4盒沿高的方向叠放，让所有长×宽的面重合，得到包装箱长6cm、宽4cm、高为10×4=40cm；
2. 方案2：把4盒沿长的方向一字排成一排，让所有宽×高的面重合，得到包装箱长为6×4=24cm、宽4cm、高10cm；
3. 方案3：先将2盒沿高叠放为1组，共2组，再将2组沿长的方向并排摆放，得到包装箱长为6×2=12cm、宽4cm、高为10×2=20cm；
使用五年级所学公式计算：
长方体表面积公式：$S=2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)$
长方体体积公式：$V=长×宽×高$
最终可得到规律：所有包装方案的总体积都等于4个小长方体的体积之和，数值完全相等；拼接时重合的面的总面积越大，包装箱的表面积越小，越节省包装材料。
注：选取不同的长方体物品，测量得到的长宽高数值不同，最终计算的表面积、体积数值会对应变化，但上述规律不变。
