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9（易错题）按如图所示的程序计算，如果输入$ x $的值为10，那么输出的结果为19，要使输出的结果为13，则输入$ x $的最小正整数值是
4
.答案
9. 4
【易错分析】一是误把13当作输入数导致错误;二是忽略要求的是输入的最小正整数,不能求到7结束.
【易错分析】一是误把13当作输入数导致错误;二是忽略要求的是输入的最小正整数,不能求到7结束.
解析
【分析】
要找到输出结果为13时输入的最小正整数x，需先明确程序的运算逻辑：输入x后计算2x-1，若结果大于10则直接输出，否则将结果作为新的x再次代入运算，直到结果大于10再输出。我们可以从输出结果13反向推导，依次考虑经过1次、2次、3次……运算得到13的情况，分别求解对应的x，最终筛选出最小的正整数x即可。
【解析】
从输出结果13反向推导所有符合要求的输入：
1. 若经过1次运算就输出13：
列方程得 $2x-1=13$，解得 $x=7$，此时运算结果13＞10，符合要求，x=7是正整数解。
2. 若经过2次运算输出13：
说明第一次运算的结果$y≤10$，将y作为新的输入运算得到13，即$2y-1=13$，解得$y=7$，满足$7≤10$。
再求第一次的输入x：$2x-1=7$，解得$x=4$，是正整数，符合要求。
3. 若经过3次运算输出13：
说明第一次运算结果$z≤10$，第二次运算结果为7，即$2z-1=7$，解得$z=4$，满足$4≤10$。
再求第一次输入x：$2x-1=4$，解得$x=2.5$，不是正整数，舍去。
4. 若经过4次及以上运算，继续反向推导得到的x均不是正整数，验证小于4的正整数1、2、3，最终输出结果均不为13，不符合要求。
综上，输入x的最小正整数值是4。
【答案】
4
【知识点】
代数式求值，程序运算，一元一次方程求解
【点评】
本题容易只考虑一次运算的情况得到x=7，忽略程序的循环运算逻辑，解题时可通过反向推导不同运算次数对应的输入值，再筛选符合要求的结果，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要找到输出结果为13时输入的最小正整数x，需先明确程序的运算逻辑：输入x后计算2x-1，若结果大于10则直接输出，否则将结果作为新的x再次代入运算，直到结果大于10再输出。我们可以从输出结果13反向推导，依次考虑经过1次、2次、3次……运算得到13的情况，分别求解对应的x，最终筛选出最小的正整数x即可。
【解析】
从输出结果13反向推导所有符合要求的输入：
1. 若经过1次运算就输出13：
列方程得 $2x-1=13$，解得 $x=7$，此时运算结果13＞10，符合要求，x=7是正整数解。
2. 若经过2次运算输出13：
说明第一次运算的结果$y≤10$，将y作为新的输入运算得到13，即$2y-1=13$，解得$y=7$，满足$7≤10$。
再求第一次的输入x：$2x-1=7$，解得$x=4$，是正整数，符合要求。
3. 若经过3次运算输出13：
说明第一次运算结果$z≤10$，第二次运算结果为7，即$2z-1=7$，解得$z=4$，满足$4≤10$。
再求第一次输入x：$2x-1=4$，解得$x=2.5$，不是正整数，舍去。
4. 若经过4次及以上运算，继续反向推导得到的x均不是正整数，验证小于4的正整数1、2、3，最终输出结果均不为13，不符合要求。
综上，输入x的最小正整数值是4。
【答案】
4
【知识点】
代数式求值，程序运算，一元一次方程求解
【点评】
本题容易只考虑一次运算的情况得到x=7，忽略程序的循环运算逻辑，解题时可通过反向推导不同运算次数对应的输入值，再筛选符合要求的结果，避免漏解。
【难度系数】
0.6
10 求下面各式的值：
(1) $\frac{1}{4}ab^2 - 5a^2b - \frac{3}{4}ab^2 + 0.75ab^2$，其中 $a=-1,b=1$；
(2) $2a^2 - 3ab + b^2 - a^2 + ab - 2b^2$，其中 $a^2 - b^2=2,ab=-3$。
(1) $\frac{1}{4}ab^2 - 5a^2b - \frac{3}{4}ab^2 + 0.75ab^2$，其中 $a=-1,b=1$；
(2) $2a^2 - 3ab + b^2 - a^2 + ab - 2b^2$，其中 $a^2 - b^2=2,ab=-3$。
答案
10. (1) 原式$=\frac{1}{4}ab^2-5a^2b$. 当$a=-1,b=1$时,原式$=-\frac{21}{4}$
(2) 原式$=a^2-b^2-2ab$. 当$a^2-b^2=2,ab=-3$时,原式$=8$
(2) 原式$=a^2-b^2-2ab$. 当$a^2-b^2=2,ab=-3$时,原式$=8$
解析
【分析】
本题是代数式化简求值类题目，解题核心思路是先化简再代入计算，避免直接代入的复杂运算：
(1) 先识别出式子中含$ab^2$的项是同类项，先合并同类项简化式子，再将$a、b$的值代入化简后的式子计算结果；
(2) 同样先合并同类项，观察化简后的式子，发现其可由题目给出的$a^2-b^2$和$ab$整体表示，无需单独求解$a、b$的值，直接整体代入计算即可。
【解析】
(1) 先合并同类项：
原式$=(\frac{1}{4}ab^2 - \frac{3}{4}ab^2 + 0.75ab^2) -5a^2b$
因为$0.75=\frac{3}{4}$，所以括号内计算得$\frac{1}{4}ab^2$，即化简结果为$\frac{1}{4}ab^2 -5a^2b$
将$a=-1,b=1$代入：
原式$=\frac{1}{4}×(-1)×1^2 -5×(-1)^2×1$
$=-\frac{1}{4} -5 = -\frac{21}{4}$
(2) 合并同类项：
原式$=(2a^2 -a^2) + (-3ab +ab) + (b^2 -2b^2)$
$=a^2 -2ab -b^2 = (a^2 -b^2) -2ab$
将$a^2 -b^2=2,ab=-3$整体代入：
原式$=2 -2×(-3) = 2 +6 =8$
【答案】
(1) $-\frac{21}{4}$；(2) $8$
【知识点】
合并同类项，代数式化简求值，整体代入求值
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，先合并同类项再代入的方法能大幅降低运算量、减少出错概率，第二问的整体代入思想是代数式求值中的常用技巧，熟练掌握同类项合并规则是解这类题的关键。
【难度系数】
0.8
本题是代数式化简求值类题目，解题核心思路是先化简再代入计算，避免直接代入的复杂运算：
(1) 先识别出式子中含$ab^2$的项是同类项，先合并同类项简化式子，再将$a、b$的值代入化简后的式子计算结果；
(2) 同样先合并同类项，观察化简后的式子，发现其可由题目给出的$a^2-b^2$和$ab$整体表示，无需单独求解$a、b$的值，直接整体代入计算即可。
【解析】
(1) 先合并同类项：
原式$=(\frac{1}{4}ab^2 - \frac{3}{4}ab^2 + 0.75ab^2) -5a^2b$
因为$0.75=\frac{3}{4}$，所以括号内计算得$\frac{1}{4}ab^2$，即化简结果为$\frac{1}{4}ab^2 -5a^2b$
将$a=-1,b=1$代入：
原式$=\frac{1}{4}×(-1)×1^2 -5×(-1)^2×1$
$=-\frac{1}{4} -5 = -\frac{21}{4}$
(2) 合并同类项：
原式$=(2a^2 -a^2) + (-3ab +ab) + (b^2 -2b^2)$
$=a^2 -2ab -b^2 = (a^2 -b^2) -2ab$
将$a^2 -b^2=2,ab=-3$整体代入：
原式$=2 -2×(-3) = 2 +6 =8$
【答案】
(1) $-\frac{21}{4}$；(2) $8$
【知识点】
合并同类项，代数式化简求值，整体代入求值
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，先合并同类项再代入的方法能大幅降低运算量、减少出错概率，第二问的整体代入思想是代数式求值中的常用技巧，熟练掌握同类项合并规则是解这类题的关键。
【难度系数】
0.8
11 已知$(x+1)^2 + |y+2| = 0$，求代数式$5xy - \frac{3}{2}x^3y^2 - 4xy + \frac{1}{2}y^2x^3 - \frac{1}{2}xy - 3x^3y^2$的值。
答案
11. 根据题意,得$x+1=0,y+2=0$,解得$x=-1,y=-2$. 所以原式$=\frac{1}{2}xy-4x^3y^2=\frac{1}{2}×(-1)×(-2)-4×(-1)^3×(-2)^2=1+16=17$
解析
【分析】
解题时可分三步思考：第一步，根据平方和绝对值的非负性，两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，据此求出x、y的值；第二步，观察代数式发现有多个同类项，先合并同类项化简代数式，可简化后续计算；第三步，将求得的x、y的值代入化简后的代数式，计算得出最终结果即可。
【解析】
解：
∵$(x+1)^2≥0$，$|y+2|≥0$，且$(x+1)^2 + |y+2| = 0$
∴$x+1=0$，$y+2=0$
解得：$x=-1$，$y=-2$
先化简代数式：
$5xy - \frac{3}{2}x^3y^2 - 4xy + \frac{1}{2}y^2x^3 - \frac{1}{2}xy - 3x^3y^2$
$=(5xy - 4xy - \frac{1}{2}xy) + (-\frac{3}{2}x^3y^2 + \frac{1}{2}x^3y^2 - 3x^3y^2)$
$=\frac{1}{2}xy - 4x^3y^2$
将$x=-1$，$y=-2$代入化简后的式子：
原式$=\frac{1}{2}×(-1)×(-2) - 4×(-1)^3×(-2)^2$
$=\frac{1}{2}×2 - 4×(-1)×4$
$=1 + 16$
$=17$
【答案】
17
【知识点】
非负数的性质、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的常规题型，核心是先利用非负数的性质求出未知数的值，再通过合并同类项简化代数式，代入计算时要注意乘方运算的符号规则，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
解题时可分三步思考：第一步，根据平方和绝对值的非负性，两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，据此求出x、y的值；第二步，观察代数式发现有多个同类项，先合并同类项化简代数式，可简化后续计算；第三步，将求得的x、y的值代入化简后的代数式，计算得出最终结果即可。
【解析】
解：
∵$(x+1)^2≥0$，$|y+2|≥0$，且$(x+1)^2 + |y+2| = 0$
∴$x+1=0$，$y+2=0$
解得：$x=-1$，$y=-2$
先化简代数式：
$5xy - \frac{3}{2}x^3y^2 - 4xy + \frac{1}{2}y^2x^3 - \frac{1}{2}xy - 3x^3y^2$
$=(5xy - 4xy - \frac{1}{2}xy) + (-\frac{3}{2}x^3y^2 + \frac{1}{2}x^3y^2 - 3x^3y^2)$
$=\frac{1}{2}xy - 4x^3y^2$
将$x=-1$，$y=-2$代入化简后的式子：
原式$=\frac{1}{2}×(-1)×(-2) - 4×(-1)^3×(-2)^2$
$=\frac{1}{2}×2 - 4×(-1)×4$
$=1 + 16$
$=17$
【答案】
17
【知识点】
非负数的性质、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的常规题型，核心是先利用非负数的性质求出未知数的值，再通过合并同类项简化代数式，代入计算时要注意乘方运算的符号规则，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
12 新考向代数推理题 已知一个四位数,它的千位、百位、十位、个位上的数字分别为$a,b,c,d$.
（1）这个四位数可以表示为
（2）若$a+b+c+d$可以被9整除,则这个四位数一定可以被9整除,为什么?
（3）若$a=d,b=c$,则这个数能被11整除,为什么?
（1）这个四位数可以表示为
$1000a+100b+10c+d$
.（2）若$a+b+c+d$可以被9整除,则这个四位数一定可以被9整除,为什么?
（3）若$a=d,b=c$,则这个数能被11整除,为什么?
答案
12. (1) $1000a+100b+10c+d$
(2) $1000a+100b+10c+d=(999a+a)+(99b+b)+(9c+c)+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9×(111a+11b+c)+(a+b+c+d)$. 因为$a+b+c+d$可以被9整除,$9×(111a+11b+c)$也可以被9整除,所以$1000a+100b+10c+d$一定可以被9整除
(3) 因为$a=d,b=c$,所以$1000a+100b+10c+d=1000a+a+100b+10b=1001a+110b=11(91a+10b)$. 因为$11(91a+10b)$能被11整除,所以$1000a+100b+10c+d$能被11整除
(2) $1000a+100b+10c+d=(999a+a)+(99b+b)+(9c+c)+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9×(111a+11b+c)+(a+b+c+d)$. 因为$a+b+c+d$可以被9整除,$9×(111a+11b+c)$也可以被9整除,所以$1000a+100b+10c+d$一定可以被9整除
(3) 因为$a=d,b=c$,所以$1000a+100b+10c+d=1000a+a+100b+10b=1001a+110b=11(91a+10b)$. 因为$11(91a+10b)$能被11整除,所以$1000a+100b+10c+d$能被11整除
解析
【分析】
（1）根据数位的位值意义思考：千位上的数字a表示a个1000，百位上的b表示b个100，十位上的c表示c个10，个位上的d表示d个1，将各数位对应的数值相加即可得到四位数的代数式。
（2）要证明四位数能被9整除，可将四位数的表达式拆分为两部分：一部分是9的倍数，另一部分是$a+b+c+d$，结合整除的性质，若两部分都能被9整除，它们的和也能被9整除，即可得证。
（3）先将$a=d、b=c$代入四位数的表达式，合并同类项后提取公因数11，若最终表达式为11乘整式的形式，就说明该数是11的倍数，能被11整除。
【解析】
（1）根据位值原理，千位对应数值为$1000a$，百位对应$100b$，十位对应$10c$，个位对应$d$，因此四位数的表达式为各部分之和。
（2）对四位数的表达式拆项变形：
$\begin{aligned}1000a+100b+10c+d&=(999a+a)+(99b+b)+(9c+c)+d\\&=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)\\&=9×(111a+11b+c)+(a+b+c+d)\end{aligned}$
其中$9×(111a+11b+c)$是9的倍数，能被9整除，已知$a+b+c+d$能被9整除，因此两部分的和也就是这个四位数能被9整除。
（3）将$a=d、b=c$代入表达式化简：
$\begin{aligned}1000a+100b+10c+d&=1000a+100b+10b+a\\&=1001a+110b\\&=11×(91a+10b)\end{aligned}$
$11×(91a+10b)$是11的倍数，因此这个四位数能被11整除。
【答案】
(1) $1000a+100b+10c+d$
(2) $1000a+100b+10c+d=(999a+a)+(99b+b)+(9c+c)+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9×(111a+11b+c)+(a+b+c+d)$。因为$a+b+c+d$可以被9整除,$9×(111a+11b+c)$也可以被9整除,所以$1000a+100b+10c+d$一定可以被9整除
(3) 因为$a=d,b=c$,所以$1000a+100b+10c+d=1000a+a+100b+10b=1001a+110b=11(91a+10b)$。因为$11(91a+10b)$能被11整除,所以$1000a+100b+10c+d$能被11整除
【知识点】
数的位值表示、整除的性质、代数式化简
【点评】
本题是典型的代数推理基础题，结合多位数的位值原理和代数式变形方法考察数的整除判定，能有效训练代数式拆项、提公因式的变形能力，以及逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）根据数位的位值意义思考：千位上的数字a表示a个1000，百位上的b表示b个100，十位上的c表示c个10，个位上的d表示d个1，将各数位对应的数值相加即可得到四位数的代数式。
（2）要证明四位数能被9整除，可将四位数的表达式拆分为两部分：一部分是9的倍数，另一部分是$a+b+c+d$，结合整除的性质，若两部分都能被9整除，它们的和也能被9整除，即可得证。
（3）先将$a=d、b=c$代入四位数的表达式，合并同类项后提取公因数11，若最终表达式为11乘整式的形式，就说明该数是11的倍数，能被11整除。
【解析】
（1）根据位值原理，千位对应数值为$1000a$，百位对应$100b$，十位对应$10c$，个位对应$d$，因此四位数的表达式为各部分之和。
（2）对四位数的表达式拆项变形：
$\begin{aligned}1000a+100b+10c+d&=(999a+a)+(99b+b)+(9c+c)+d\\&=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)\\&=9×(111a+11b+c)+(a+b+c+d)\end{aligned}$
其中$9×(111a+11b+c)$是9的倍数，能被9整除，已知$a+b+c+d$能被9整除，因此两部分的和也就是这个四位数能被9整除。
（3）将$a=d、b=c$代入表达式化简：
$\begin{aligned}1000a+100b+10c+d&=1000a+100b+10b+a\\&=1001a+110b\\&=11×(91a+10b)\end{aligned}$
$11×(91a+10b)$是11的倍数，因此这个四位数能被11整除。
【答案】
(1) $1000a+100b+10c+d$
(2) $1000a+100b+10c+d=(999a+a)+(99b+b)+(9c+c)+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9×(111a+11b+c)+(a+b+c+d)$。因为$a+b+c+d$可以被9整除,$9×(111a+11b+c)$也可以被9整除,所以$1000a+100b+10c+d$一定可以被9整除
(3) 因为$a=d,b=c$,所以$1000a+100b+10c+d=1000a+a+100b+10b=1001a+110b=11(91a+10b)$。因为$11(91a+10b)$能被11整除,所以$1000a+100b+10c+d$能被11整除
【知识点】
数的位值表示、整除的性质、代数式化简
【点评】
本题是典型的代数推理基础题，结合多位数的位值原理和代数式变形方法考察数的整除判定，能有效训练代数式拆项、提公因式的变形能力，以及逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
