5. 自行车支架一般都会采用如图△ABC 的设计。这种方法应用的几何原理是（）

A.两点确定一条直线
B.三角形的稳定性
C.两点之间线段最短
D.垂线段最短

B

三角形的三条边确定后，它的形状和大小就会固定，不会轻易发生形变，该性质为三角形的稳定性，自行车支架采用△ABC的设计正是应用这一几何原理。

6.如图，若$△ ABC$和$△ DEF$的面积分别为$S_1,S_2$，则$S_1:S_2=$ （）


A.$5:4$
B.$4:3$
C.$3:2$
D.$1:1$

D

分别过点A作AG⊥BC于G，过点D作DH⊥EF，交FE的延长线于H：
1. 在Rt△ABG中，∠B=40°，AB=5，可得AG=5·sin40°，因此$S_1=\frac{1}{2}×BC×AG=\frac{1}{2}×8×5·sin40°=20sin40°$。
2. 由∠DEF=140°，得∠DEH=180°-140°=40°，在Rt△DEH中，DE=8，可得DH=8·sin40°，因此$S_2=\frac{1}{2}×EF×DH=\frac{1}{2}×5×8·sin40°=20sin40°$。
3. 由此可得$S_1=S_2$，即$S_1:S_2=1:1$。

7. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB＞BC$，点$D$在边$BC$上，连接$AD$，点$E$，$F$在线段$AD$上，连接$BE$，$CF$，且$BE=AF$，$AE=CF$，若$△ ABE$的面积为4，则$△ ACF$的面积为（）

A.6
B.4
C.8
D.2

B

在△ABE和△CAF中，$\begin{cases} AB=AC \\ BE=AF \\ AE=CF \end{cases}$，根据SSS全等判定定理，可得$△ ABE ≌ △ CAF$。由全等三角形的面积相等，已知$△ ABE$的面积为4，因此$△ ACF$的面积为4。

8. 如图，$△ ABC$和$△ CDE$都是等腰直角三角形，$∠ ACB=∠ ECD=90°$，$∠ EBD=50°$，则$∠ AEB$的度数为（）

A.$130°$
B.$135°$
C.$140°$
D.$145°$

C

1. 证明全等：
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB - ∠ECB = ∠ECD - ∠ECB，即∠ACE=∠BCD。
又∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC，
∴△ACE ≌ △BCD（SAS），得∠CAE=∠CBD。
2. 角度转化：
∵∠EBD=∠CBD + ∠CBE=50°，
代入∠CAE=∠CBD，得∠CAE + ∠CBE=50°。
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠BAC + ∠ABC=90°，即∠BAE + ∠CAE + ∠ABE + ∠CBE=90°，
代入得∠BAE + ∠ABE=90° - 50°=40°。
3. 求∠AEB：
在△ABE中，由三角形内角和为180°，
得∠AEB=180° - (∠BAE + ∠ABE)=180° - 40°=140°。

9. 如图，D是$△ ABC$内一点，$DA=DB$，$∠ ADB=90°$，过点D作$FE⊥ BC$于点E，交AC于点F，F恰是AC的中点。若$DF=4$，$BE=11$，则EC的长为 （）

A.2
B.3
C.4
D.5

B

过点A作AH⊥FE，交ED的延长线于点H。
1. 由DE⊥BC，AH⊥FE，得∠H=∠DEB=90°。
2. 由∠ADB=90°，得∠ADH+∠BDE=90°，结合∠DBE+∠BDE=90°，推出∠ADH=∠DBE。
3. 又DA=DB，故△AHD≌△DEB（AAS），得HD=BE=11，AH=DE。
4. 由F是AC中点得AF=CF，结合∠AFH=∠CFE，∠H=∠CEF=90°，故△AHF≌△CEF（AAS），得AH=EC，HF=EF。
5. 已知DF=4，得HF=HD-DF=11-4=7，故EF=7。
6. 由EF=DE+DF，得DE=7-4=3，因此EC=AH=DE=3。