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25. 问题呈现:借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略。
、是用边长分别为a,b的两个正方形和边长为a,b的两个长方形拼成的一个大正方形,利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1;图2;(用字母a,b表示)
数学思考:利用图形推导的数学公式解决问题:
(1)已知$a+b=5,ab=3$,求$a^2+b^2$的值;
(2)已知$(2026-x)(2024-x)=2025$,求$(2026-x)^2+(2024-x)^2$的值。
、是用边长分别为a,b的两个正方形和边长为a,b的两个长方形拼成的一个大正方形,利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1;图2;(用字母a,b表示)数学思考:利用图形推导的数学公式解决问题:
(1)已知$a+b=5,ab=3$,求$a^2+b^2$的值;
(2)已知$(2026-x)(2024-x)=2025$,求$(2026-x)^2+(2024-x)^2$的值。
答案
解：
图1推导的乘法公式：$\boldsymbol{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$
图2推导的乘法公式：$\boldsymbol{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$
(1)
$\because a+b=5$，$ab=3$，
$\therefore a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
$=5^2-2×3$
$=25-6$
$=19$
(2)
令$m=2026-x$，$n=2024-x$，
则$m-n=(2026-x)-(2024-x)=2$，$mn=2025$，
$\therefore (2026-x)^2+(2024-x)^2=m^2+n^2$
$=(m-n)^2+2mn$
$=2^2+2×2025$
$=4+4050$
$=4054$
图1推导的乘法公式：$\boldsymbol{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$
图2推导的乘法公式：$\boldsymbol{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$
(1)
$\because a+b=5$，$ab=3$，
$\therefore a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
$=5^2-2×3$
$=25-6$
$=19$
(2)
令$m=2026-x$，$n=2024-x$，
则$m-n=(2026-x)-(2024-x)=2$，$mn=2025$，
$\therefore (2026-x)^2+(2024-x)^2=m^2+n^2$
$=(m-n)^2+2mn$
$=2^2+2×2025$
$=4+4050$
$=4054$
26. 如图(1), $AB=7\ \mathrm{cm}, AC ⊥ AB, BD ⊥ AB$, $AC=5\ \mathrm{cm}$。点 $P$ 在线段 $AB$ 上以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度由点 $A$ 向点 $B$ 运动,同时,点 $Q$ 在射线 $BD$ 上由点 $B$ 向点 $D$ 运动。它们运动的时间为 $t(\mathrm{s})$,当点 $P$ 到达点 $B$ 时,点 $Q$ 也停止运动。
(1) 若点 $Q$ 的运动速度与点 $P$ 的运动速度相等,当 $t=1\ \mathrm{s}$ 时, $△ ACP$ 与 $△ BPQ$ 全等,此时 $PC ⊥ PQ$ 吗? 请说明理由。
(2) 将图1中的“$AC ⊥ AB, BD ⊥ AB$”改为“$∠ CAB = ∠ DBA = 60°$”后得到图2,其他条件不变。设点 $Q$ 的运动速度为 $x\ \mathrm{cm/s}$,当点 $P, Q$ 运动到某处时,有 $△ ACP$ 与 $△ BPQ$ 全等,求出相应的 $x, t$ 的值。
(3) 在(2)成立且 $P, Q$ 两点的运动速度相同时, $∠ CPQ = \_\_\_\_\_\_$。(直接写出结果)
(1) 若点 $Q$ 的运动速度与点 $P$ 的运动速度相等,当 $t=1\ \mathrm{s}$ 时, $△ ACP$ 与 $△ BPQ$ 全等,此时 $PC ⊥ PQ$ 吗? 请说明理由。
(2) 将图1中的“$AC ⊥ AB, BD ⊥ AB$”改为“$∠ CAB = ∠ DBA = 60°$”后得到图2,其他条件不变。设点 $Q$ 的运动速度为 $x\ \mathrm{cm/s}$,当点 $P, Q$ 运动到某处时,有 $△ ACP$ 与 $△ BPQ$ 全等,求出相应的 $x, t$ 的值。
(3) 在(2)成立且 $P, Q$ 两点的运动速度相同时, $∠ CPQ = \_\_\_\_\_\_$。(直接写出结果)
答案
解：(1) $PC⊥ PQ$，理由如下：
当$t=1\ \mathrm{s}$时，$AP=2×1=2\ \mathrm{cm}$，$BQ=2×1=2\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BP=AB-AP=7-2=5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AC=BP=5\ \mathrm{cm}$。
$\because AC⊥ AB$，$BD⊥ AB$，
$\therefore ∠ A=∠ B=90°$。
$\because △ ACP ≌ △ BPQ$，
$\therefore ∠ ACP=∠ BPQ$。
在$△ ACP$中，$∠ ACP + ∠ APC=90°$，
$\therefore ∠ BPQ + ∠ APC=90°$，
$\therefore ∠ CPQ=180° - (∠ APC + ∠ BPQ)=90°$，
$\therefore PC⊥ PQ$。
(2) 分两种全等对应情况讨论：
① 当$△ ACP ≌ △ BPQ$时，对应边满足$AC=BP$，$AP=BQ$，
可得方程组：
$\begin{cases}5=7-2t \\ 2t=xt\end{cases}$
解得$\begin{cases} t=1 \\ x=2 \end{cases}$；
② 当$△ ACP ≌ △ BQP$时，对应边满足$AC=BQ$，$AP=BP$，
可得方程组：
$\begin{cases}2t=7-2t \\ 5=xt\end{cases}$
解得$\begin{cases} t=\dfrac{7}{4} \\ x=\dfrac{20}{7} \end{cases}$。
综上，符合条件的解为$\begin{cases} t=1 \\ x=2 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} t=\dfrac{7}{4} \\ x=\dfrac{20}{7} \end{cases}$。
(3) $\boldsymbol{60°}$
当$t=1\ \mathrm{s}$时，$AP=2×1=2\ \mathrm{cm}$，$BQ=2×1=2\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BP=AB-AP=7-2=5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AC=BP=5\ \mathrm{cm}$。
$\because AC⊥ AB$，$BD⊥ AB$，
$\therefore ∠ A=∠ B=90°$。
$\because △ ACP ≌ △ BPQ$，
$\therefore ∠ ACP=∠ BPQ$。
在$△ ACP$中，$∠ ACP + ∠ APC=90°$，
$\therefore ∠ BPQ + ∠ APC=90°$，
$\therefore ∠ CPQ=180° - (∠ APC + ∠ BPQ)=90°$，
$\therefore PC⊥ PQ$。
(2) 分两种全等对应情况讨论：
① 当$△ ACP ≌ △ BPQ$时，对应边满足$AC=BP$，$AP=BQ$，
可得方程组：
$\begin{cases}5=7-2t \\ 2t=xt\end{cases}$
解得$\begin{cases} t=1 \\ x=2 \end{cases}$；
② 当$△ ACP ≌ △ BQP$时，对应边满足$AC=BQ$，$AP=BP$，
可得方程组：
$\begin{cases}2t=7-2t \\ 5=xt\end{cases}$
解得$\begin{cases} t=\dfrac{7}{4} \\ x=\dfrac{20}{7} \end{cases}$。
综上，符合条件的解为$\begin{cases} t=1 \\ x=2 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} t=\dfrac{7}{4} \\ x=\dfrac{20}{7} \end{cases}$。
(3) $\boldsymbol{60°}$
