3. 如图,一次函数$y=x+8$的图象与反比例函数
$y=\dfrac{k}{x}(x＜0)$的图象交于$A(a,6)$,$B(-6,b)$两点.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)在$y$轴上存在点$P$,使得$AP+BP$的值最小,求$AP+BP$的最小值.
(3)$M$为反比例函数图象上一点,$N$为$x$轴上一点,是否存在点$M$,$N$,使$△ MBN$是以$MN$为底的等腰直角三角形? 若存在,请求出点$M$坐标;若不存在,请说明理由.

3. (1)一次函数y=x+8的图象与反比例函数y=k/x(x＜0)的图象交于A(a,6),B(-6,b)两点,
∴ 把A(a,6),B(-6,b)两点代入一次函数y=x+8得,a+8=6,-6+8=b,
∴ a=-2,b=2,即A(-2,6),B(-6,2),把A(-2,6)代入反比例函数y=k/x(x＜0)得,k/(-2)=6,
∴ k=-12,
∴ 反比例函数的表达式为y=-12/x.
(2)如图①所示,作点A关于y轴的对称点A',连接A'P,AP,BP,A'B,
∴ AP=A'P,
∴ PA+PB=PA'+PB≥A'B,当B,P,A'三点共线时,PA+PB的值最小,此时点P位于P'的位置,
∴ A'(2,6),且B(-6,2),
∴ A'B=√[(2+6)²+(6-2)²]=4√5,
∴ AP+BP的最小值为4√5.
(3)存在,设点M(m,-12/m),N(n,0),且B(-6,2),当点M在点B的右侧时,如图②所示,过点B作BF⊥x轴于点F,过点M作MH//x轴交FB的延长线于点H,
∵ △MBN是以MN为底的等腰直角三角形,
∴ ∠MBN=90°,MB=NB.
∵ ∠MBH+∠NBF=∠NBF+∠BNF=90°,
∴ ∠MBH=∠BNF,
∴ △MBH≌△BNF(AAS),
∴ HM=BF,
∴ m - (-6)=2-0,解得m=-4,
∴ M(-4,3);
当点M在点B的左侧时,如图③所示,同理可得∠HBM+∠MBF=∠MBF+∠FBN=90°,则∠HBM=∠FBN,且∠H=∠BFN=90°,BM=BN,
∴ △BMH≌△BNF(AAS),
∴ BH=BF,即-6 - m=2-0,解得m=-8,
∴ M(-8, 3/2).
综上所述,存在点M,N使△MBN是以MN为底的等腰直角三角形,点M坐标为(-4,3)或(-8, 3/2).

【分析】
1. 求反比例函数表达式：先利用一次函数$y=x+8$，代入$A$、$B$两点坐标求出$a$、$b$，得到$A$、$B$的具体坐标，再将$A$点坐标代入反比例函数求$k$，进而确定反比例函数表达式。
2. 求$AP+BP$最小值：利用轴对称性质，作$A$关于$y$轴的对称点$A'$，根据两点之间线段最短，当$B$、$P$、$A'$共线时，$AP+BP=A'B$，计算$A'B$的长度即可得到最小值。
3. 判断等腰直角三角形存在性：分$M$在$B$右侧、左侧两种情况，通过作辅助线构造全等三角形，利用等腰直角三角形的角和边的关系，结合坐标运算求出$M$的坐标。
【解析】
(1) 把$A(a,6)$、$B(-6,b)$代入一次函数$y=x+8$，得：
$a + 8 = 6 \implies a = -2$；
$-6 + 8 = b \implies b = 2$；
故$A(-2,6)$，$B(-6,2)$。
将$A(-2,6)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得$6 = \dfrac{k}{-2}$，解得$k=-12$，
因此反比例函数表达式为$y = -\dfrac{12}{x}$。
(2) 作点$A$关于$y$轴的对称点$A'$，则$A'(2,6)$，连接$A'B$交$y$轴于点$P$，此时$AP+BP=A'P+BP=A'B$，值最小。
计算$A'B$的长度：
$A'(2,6)$，$B(-6,2)$，
$A'B = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$，
故$AP+BP$的最小值为$4\sqrt{5}$。
(3) 存在，分两种情况：
① 当$M$在$B$右侧时，过$B$作$BF⊥ x$轴于$F$，过$M$作$MH// x$轴交$FB$的延长线于$H$。
$\because △ MBN$是以$MN$为底的等腰直角三角形，
$\therefore ∠ MBN=90°$，$MB=NB$，
$\therefore ∠ MBH + ∠ NBF = 90°$，又$∠ NBF + ∠ BNF = 90°$，
$\therefore ∠ MBH=∠ BNF$，
又$∠ H=∠ BFN=90°$，
$\therefore △ MBH≌△ BNF(AAS)$，
$\therefore HM=BF=2$，即$m - (-6)=2$，解得$m=-4$，
代入反比例函数得$y=-\dfrac{12}{-4}=3$，故$M(-4,3)$。
② 当$M$在$B$左侧时，同理，过$B$作$BF⊥ x$轴于$F$，过$M$作$MH// x$轴交$HB$的延长线于$H$，
$∠ HBM=∠ FBN$，$∠ H=∠ BFN=90°$，$MB=BN$，
$\therefore △ BMH≌△ BNF(AAS)$，
$\therefore BH=BF=2$，即$-6 - m=2$，解得$m=-8$，
代入反比例函数得$y=-\dfrac{12}{-8}=\dfrac{3}{2}$，故$M(-8, \dfrac{3}{2})$。
综上，存在点$M$，坐标为$(-4,3)$或$(-8, \dfrac{3}{2})$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{12}{x}$；(2) $4\sqrt{5}$；(3) 存在，点$M$坐标为$(-4,3)$或$(-8, \dfrac{3}{2})$
【知识点】
反比例函数表达式、一次函数交点、轴对称最短路径、等腰直角三角形全等
【点评】
本题为一次函数与反比例函数的综合题，涵盖函数表达式求解、最短路径计算、等腰直角三角形存在性探究，需运用坐标性质、全等三角形判定及分类讨论思想，综合考察学生知识运用能力，难度适中。
【难度系数】
0.5

4. (2025·泰州期末) 如图①,在平面直角坐标系 $xOy$ 中,正方形 $OABC$ 的边长为 $m$, 点 $A$, $C$ 分别在 $x$ 轴、$y$ 轴的正半轴上,$P,Q$ 两点分别从点 $O,B$ 处同时出发,分别沿着 $O \to C$ 和 $B \to A$ 的方向运动 $a$ 个单位长度,运动到 $C,A$ 两点处同时停止运动,连接 $PQ$.其中 $a,m$ 均为常数且 $am ≠ 0$.
(1)求证:在运动过程中线段 $PQ$ 经过一定点,记作 $M$,并直接写出点 $M$ 的坐标.(用含有 $m$ 的代数式表示)
(2)如图②,点 $M'$ 与点 $M$ 关于原点 $O$ 对称.过点 $M$ 作双曲线 $y_1=\dfrac{k}{x}$($k$ 为常数,$k ≠ 0$)与 $AB$ 交于点 $D$,作直线 $DM'$,与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于$E,F$ 两点,连接 $ME$.
①求证:$ME // BA$;
②若四边形 $MEDQ$ 是平行四边形,写出 $a$ 与 $m$ 之间的函数表达式:.
(3)当 $m ≠ 2$ 时,在(2)中②的条件下,延长$ME$ 交双曲线 $y_2=-\dfrac{a}{x}(x＞0)$ 于 $G$,将直线 $DE$沿 $y$ 轴向下平移经过点 $G$ 得到直线 $y_3=sx+t$.结合图象,直接写出不等式 $-\dfrac{a}{x}＞sx+t$ 的解集.

4. (1)M(m/2, m/2).证明如下:由题意得P(0,a),Q(m,m-a),设直线PQ的表达式为y=nx+b,则{b=a, nm + b = m - a, 解得{b=a, n=(m-2a)/m, 则直线PQ的表达式为y=(m-2a)/m x + a, 得y=x + a(1 - 2x/m),当1 - 2x/m=0时,x=m/2,代入表达式得y=m/2,
∴ 点M的坐标为(m/2, m/2),即线段PQ经过一定点M(m/2, m/2).
(2)①由(1)知:M(m/2, m/2),
∵ 点M'与点M关于原点O对称,
∴ M'(-m/2, -m/2).
∵ 双曲线y₁=k/x(k为常数,k≠0)经过点M,
∴ k=m/2 × m/2 = m²/4.
∵ 双曲线y₁与AB交于点D,
∴ D(m, m/4),设直线M'D的表达式为y=k₁x+b₁,则{-m/2 k₁ + b₁ = -m/2, m k₁ + b₁ = m/4, 解得{k₁=1/2, b₁=-m/4, 则直线M'D的表达式为y=1/2 x - m/4,令y=0,得1/2 x - m/4=0,解得x=m/2,
∴ E(m/2, 0),
∴ ME⊥x轴.
∵ AB⊥x轴,
∴ ME//BA.
②a=1/4 m 解析:四边形 MEDQ 是平行四边形,
∴ MQ//ED,即PQ//M'D,
∴ (m-2a)/m = 1/2,
∴ m=4a,即a=1/4 m.
(3)当0＜m＜2时,不等式 -a/x ＞ sx + t 的解集为m/2 ＜ x ＜ 1;当m＞2时,不等式 -a/x ＞ sx + t 的解集为1 ＜ x ＜ m/2.
解析:由(2)②知,ME⊥x轴,E(m/2, 0),a=1/4 m,
∴ y₂=-a/x = -m/(4x),
∴ G(m/2, -1/2).
∵ 将直线DE沿y轴向下平移经过点G得到直线y₃=sx+t,
∴ y₃=1/2 x + t,把G的坐标代入得1/4 m + t = -1/2,解得t=-1/4 m - 1/2,
∴ y₃=1/2 x - 1/4 m - 1/2.联立得1/2 x - 1/4 m - 1/2 = -m/(4x),解得x₁=1,x₂=m/2,当0＜m＜2时,不等式 -a/x ＞ sx + t 的解集为m/2 ＜ x ＜ 1;当m＞2时,不等式 -a/x ＞ sx + t 的解集为1 ＜ x ＜ m/2.
综上,当0＜m＜2时,不等式 -a/x ＞ sx + t 的解集为m/2 ＜ x ＜ 1;当m＞2时,不等式 -a/x ＞ sx + t 的解集为1 ＜ x ＜ m/2.

【分析】
要解决本题，需先明确正方形各顶点坐标，再结合点的运动规律表示动点坐标，通过求直线解析式、利用函数性质和几何关系逐步推导。
(1) 先写出P、Q的坐标，再求直线PQ的解析式，整理后找到与参数a无关的定点，即为M；
(2) ① 利用中心对称得M'坐标，由双曲线过M求k，进而得D点坐标，求直线M'D的解析式找到E点，通过ME与BA的位置关系证明平行；② 平行四边形对边平行，故PQ与M'D斜率相等，列方程求a与m的关系；
(3) 代入a=1/4 m得双曲线y₂，求G点坐标，再得平移后的直线y₃，联立两函数求交点，结合图像分情况解不等式。
【解析】
(1) 由题意，正方形OABC边长为m，故O(0,0)、A(m,0)、B(m,m)、C(0,m)。P从O到C运动a个单位，得P(0,a)；Q从B到A运动a个单位，得Q(m, m-a)。
设直线PQ的解析式为y=nx+b，代入P、Q坐标：
$\begin{cases} b=a \\ nm + b = m - a \end{cases}$，解得$b=a$，$n=\frac{m-2a}{m}$，故直线PQ解析式为$y=\frac{m-2a}{m}x + a$，整理得$y=x + a(1-\frac{2x}{m})$。
令$1-\frac{2x}{m}=0$，得$x=\frac{m}{2}$，代入得$y=\frac{m}{2}$，故线段PQ经过定点$M(\frac{m}{2},\frac{m}{2})$。
(2) ① 由(1)知$M(\frac{m}{2},\frac{m}{2})$，则M关于原点对称的点$M'(-\frac{m}{2},-\frac{m}{2})$。
双曲线$y_1=\frac{k}{x}$过M，故$k=\frac{m}{2} × \frac{m}{2}=\frac{m^2}{4}$。AB为直线$x=m$，代入双曲线得$y=\frac{\frac{m^2}{4}}{m}=\frac{m}{4}$，故$D(m,\frac{m}{4})$。
设直线M'D的解析式为$y=k_1x + b_1$，代入M'、D坐标：
$\begin{cases} -\frac{m}{2}k_1 + b_1 = -\frac{m}{2} \\ mk_1 + b_1 = \frac{m}{4} \end{cases}$，解得$k_1=\frac{1}{2}$，$b_1=-\frac{m}{4}$，故直线M'D解析式为$y=\frac{1}{2}x - \frac{m}{4}$。
令$y=0$，得$\frac{1}{2}x - \frac{m}{4}=0$，解得$x=\frac{m}{2}$，即$E(\frac{m}{2},0)$。
因ME为直线$x=\frac{m}{2}$，垂直于x轴，BA也垂直于x轴，故$ME // BA$。
② 四边形MEDQ是平行四边形，故$MQ // ED$，即$PQ // M'D$，斜率相等：$\frac{m-2a}{m}=\frac{1}{2}$，解得$m=4a$，即$a=\frac{1}{4}m$。
(3) 由(2)②知$a=\frac{1}{4}m$，故$y_2=-\frac{a}{x}=-\frac{m}{4x}$。ME为直线$x=\frac{m}{2}$，代入$y_2$得$y=-\frac{m}{4 × \frac{m}{2}}=-\frac{1}{2}$，故$G(\frac{m}{2},-\frac{1}{2})$。
直线DE平移后斜率不变为$\frac{1}{2}$，故$y_3=\frac{1}{2}x + t$，代入G得$\frac{1}{2} × \frac{m}{2} + t = -\frac{1}{2}$，解得$t=-\frac{m}{4}-\frac{1}{2}$，故$y_3=\frac{1}{2}x - \frac{m}{4}-\frac{1}{2}$。
联立$y_2=-\frac{m}{4x}$与$y_3=\frac{1}{2}x - \frac{m}{4}-\frac{1}{2}$，解得交点$x=1$和$x=\frac{m}{2}$。
结合图像：当$0＜m＜2$时，不等式$-\frac{a}{x}＞\frac{1}{2}x - \frac{m}{4}-\frac{1}{2}$的解集为$\frac{m}{2}＜x＜1$；当$m＞2$时，解集为$1＜x＜\frac{m}{2}$。
【答案】
(1) 定点M的坐标为$(\frac{m}{2},\frac{m}{2})$；
(2) ① 证明如上；② $a=\frac{1}{4}m$；
(3) 当$0＜m＜2$时，解集为$\frac{m}{2}＜x＜1$；当$m＞2$时，解集为$1＜x＜\frac{m}{2}$。
【知识点】
一次函数解析式、反比例函数性质、平行四边形判定、坐标与图形变换
【点评】
本题综合考查一次函数、反比例函数、平行四边形的知识，需熟练掌握坐标表示、函数解析式求解，以及函数图像与不等式的结合应用，对代数与几何的融合能力要求较高，解题时需注意参数处理和图像分析。
【难度系数】
0.5