蠕虫爬绳问题
在1867年,德国数学家施瓦茨提出过一个问题:
一条蠕虫以每秒1厘米的速度在一根1米长的橡皮绳上从一端向另一端爬行.若橡皮绳每秒均匀伸长1米,试问这条蠕虫能否爬到橡皮绳的另一端?
我们的第一反应是,蠕虫无论如何也爬不到另一端,下面来探究一下果真如此吗?
我们注意到,橡皮绳每秒钟伸长1米,这种伸长是均匀的,因而蠕虫爬过的那一段也随之伸长,并且,绳子只有在下一秒开始时才开始伸长1米.则:
第1秒末绳子长1米,蠕虫爬了1厘米,即它爬了绳长的$\frac{1}{100}$;
第2秒末绳子长2米,蠕虫又爬了1厘米,即在这1秒内它爬了绳长的$\frac{1}{200}$;
第3秒末绳子长3米,蠕虫又爬了1厘米,即在这1秒内它爬了绳长的$\frac{1}{300}$;
……
第k秒末,绳子长k米,蠕虫在这1秒内爬了绳子长的$\frac{1}{100k}$.
我们需要关注的是蠕虫已爬过的绳长占绳子总长的百分比不变,因此蠕虫在第k秒已爬过的绳长为

解：
第k秒末，蠕虫爬过的路程占当前橡皮绳总长度的比例为：
$\begin{aligned}S_k &= \frac{1}{100} + \frac{1}{200} + \frac{1}{300} + \dots + \frac{1}{100k} \\&= \frac{1}{100}(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k})\end{aligned}$
将括号内的调和级数项分组：
$1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+\dots$
每组的和都大于$\frac{1}{2}$，随着k增大，该累加和可以任意大，必然存在足够大的k使得$1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{k} ≥ 100$，此时$S_k ≥ 1$，即蠕虫爬过的长度占绳总长的比例达到100%。
答：这条蠕虫能爬到橡皮绳的另一端。