1. 如图，$△ ABC$的内角$∠ ABC$的平分线与外角$∠ ACF$的平分线相交于点$D$，连接$AD$。若$∠ BDC=30°$，则$∠ DAC=(\quad)$


A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$

D

1. 由角平分线定义得：BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，因此$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCF=\frac{1}{2}∠ ACF$。
2. 根据三角形外角性质：$∠ DCF = ∠ DBC + ∠ BDC$，$∠ ACF = ∠ ABC + ∠ BAC$，代入化简得$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BAC$。
3. 已知$∠ BDC=30°$，因此$∠ BAC=2×30°=60°$，可得A点的外角$∠ CAE=180°-∠ BAC=120°$（E为BA延长线上的点）。
4. 过D作$DG⊥ AE$于G，$DH⊥ AC$于H，$DK⊥ BF$于K，由角平分线性质得$DG=DK$，$DH=DK$，因此$DG=DH$，由角平分线判定定理得AD平分$∠ CAE$。
5. 计算得$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ CAE=\frac{1}{2}×120°=60°$。

2.如图,在$△ ABC$中,分别以点$A,B$为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧相交于点$M$, $N$,作直线$MN$,分别交$AC$,$AB$于点$D$,$E$。若$AE=3$,$△ BDC$的周长为$10$,则$△ ABC$的周长是________。

16

首先根据尺规作图的步骤，可知直线MN是线段AB的垂直平分线。
根据线段垂直平分线的性质：
1. 可得$AD=BD$，且$AB=2AE$；
2. 已知$AE=3$，因此$AB=2×3=6$；
3. 已知$△ BDC$的周长为10，即$BD+DC+BC=10$，将$BD$替换为相等的$AD$，可得$AD+DC+BC=AC+BC=10$；
4. 因此$△ ABC$的周长为$AB+AC+BC=6+10=16$。

3.如图,在$2×2$的方格中,每个小方格的边长均为1。若$∠1=α$,则$∠2$的大小为(用含α的代数式表示)。

$90° - α$

设每个小方格的边长为1，将∠1、∠2分别放入对应的直角三角形中，可得两个直角三角形的直角边长分别为1和2，两个直角三角形全等，因此∠2与∠1的余角相等，即∠1 + ∠2 = 90°。已知∠1=α，代入可得∠2的表达式。

4.如图,等边三角形ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是AD上的动点,E是AC边上的动点。当$EF+CF$取得最小值时,$∠ ECF=$°。

30

1. 已知△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，根据等边三角形三线合一的性质，可得AD垂直平分BC，因此点B和点C关于直线AD对称，故CF=BF，因此EF+CF=EF+BF。
2. 根据两点之间线段最短的原理，当B、F、E三点共线，且BE⊥AC时，EF+BF取得最小值，也就是点B到AC的垂线段长度，此时EF+CF的值最小。
3. 等边△ABC中∠ACB=60°，BE⊥AC，可得∠EBC=90°-60°=30°。
4. 由CF=BF，可知∠FCB=∠FBC=30°，因此∠ECF=∠ACB - ∠FCB=60°-30°=30°。

5. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$P$为$AC$上的一个动点(与点$A,C$均不重合),点$D$在射线$AB$上,且$PA=PD$。
(1)若$∠ B=50°$,则$∠ ADP=\_\_\_\_\_\_$。
(2)如图2,作线段$BD$的垂直平分线,交直线$BC$于点$E$,连接$DE$。请判断线段$PD$与$DE$的位置关系,并说明理由。
(3)在(2)的条件下,若$AC=8$,$BC=6$,已知线段$PD$和$DE$的长度均为整数,请直接写出线段$PA$的长。

(1) $\boldsymbol{40°}$
(2) $\boldsymbol{PD⊥ DE}$，理由见上述解析
(3) $\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{7}$

(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=50°$，因此$∠ A=90°-50°=40°$。
又因为$PA=PD$，所以$△ PAD$为等腰三角形，$∠ ADP=∠ A=40°$。
(2) $PD⊥ DE$，理由如下：
$\because PA=PD$，$\therefore ∠ PAD=∠ PDA$。
$\because E$在$BD$的垂直平分线上，$\therefore EB=ED$，$\therefore ∠ EDB=∠ B$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ A+∠ B=90°$。
$\therefore ∠ PDA+∠ EDB=∠ A+∠ B=90°$。
$\therefore ∠ PDE=180°-(∠ PDA+∠ EDB)=180°-90°=90°$，即$PD⊥ DE$。
(3) 由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，可得$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$，$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$。
设$PA=x$，则$PD=x$，等腰$△ PAD$中$AD=2x·\cos A=\frac{8}{5}x$；设$DE=y$，等腰$△ EBD$中$BD=2y·\cos B=\frac{6}{5}y$。
分两种情况：
① 当$D$在线段$AB$上时，$AD+BD=10$，即$\frac{8}{5}x+\frac{6}{5}y=10$，化简得$4x+3y=25$，满足$x,y$均为正整数且$x＜8$的解为$x=4,y=3$；
② 当$D$在$AB$的延长线上时，$AD-BD=10$，即$\frac{8}{5}x-\frac{6}{5}y=10$，化简得$4x-3y=25$，满足条件的正整数解为$x=7,y=1$。
因此$PA$的长为4或7。