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12. 如图所示,取一只空牙膏管,一次将它挤瘪,另一次将它撑开,两次都拧紧盖后先后放入同一杯水中,两次牙膏管的质量$m_{甲}$和$m_{乙}$的大小关系是$m_{甲}\_\_\_\_\_\_m_{乙}$;两次排开水的体积$V_{甲}$和$V_{乙}$的大小关系是$V_{甲}\_\_\_\_\_\_V_{乙}$;两次所受的浮力$F_{甲}$和$F_{乙}$的大小关系是$F_{甲}\_\_\_\_\_\_F_{乙}$;两次杯底受到水的压强$p_{甲}$和$p_{乙}$的大小关系是$p_{甲}\_\_\_\_\_\_p_{乙}$。(均填“＞”“＜”或“=”)
答案
12. = ＜ ＜ ＜
解析
【分析】
要解决本题，需逐步推导各物理量的关系：首先，质量是物体的固有属性，与形状无关，据此判断质量关系；接着根据浮沉条件判断浮力大小，再结合阿基米德原理推导排开水的体积关系；最后根据排开体积判断水面高度，利用液体压强公式得出杯底压强关系。
步骤1：质量判断：牙膏管挤瘪或撑开仅改变形状，所含物质的多少不变，因此质量相等；
步骤2：浮力判断：甲中牙膏管沉底，浮力小于自身重力；乙中牙膏管漂浮，浮力等于自身重力，同一牙膏管重力不变，故甲的浮力更小；
步骤3：排开体积判断：根据阿基米德原理，浮力越小，排开水的体积越小，因此甲排开体积小于乙；
步骤4：压强判断：排开体积越大，水面上升高度越高，结合液体压强公式，水面越高则杯底压强越大，故甲的压强更小。
【解析】
1. 质量关系：质量是物体本身的属性，不随形状改变而变化，因此挤瘪和撑开的牙膏管质量相等，即$m_{甲}=m_{乙}$；
2. 浮力关系：甲中牙膏管沉底，根据浮沉条件，沉底时浮力小于重力，即$F_{甲}＜G$；乙中牙膏管漂浮，漂浮时浮力等于重力，即$F_{乙}=G$；同一牙膏管重力$G$不变，因此$F_{甲}＜F_{乙}$；
3. 排开水的体积关系：由阿基米德原理$F_{浮}=ρ_{水}gV_{排}$，水的密度$ρ_{水}$和$g$为定值，因$F_{甲}＜F_{乙}$，所以排开水的体积$V_{甲}＜V_{乙}$；
4. 杯底压强关系：排开水的体积越大，水面上升的高度$h$越大，乙中排开体积更大，故乙中水面高度更高；根据液体压强公式$p=ρ_{水}gh$，水的密度不变，深度$h$越大压强越大，因此$p_{甲}＜p_{乙}$。
【答案】
= ＜ ＜ ＜
【知识点】
质量属性、浮沉条件与阿基米德原理、液体压强
【点评】
本题通过牙膏管的不同状态，综合考查了质量特性、浮沉条件、阿基米德原理和液体压强的应用，需理清各物理量的逻辑关系，是一道基础力学综合题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需逐步推导各物理量的关系：首先，质量是物体的固有属性，与形状无关，据此判断质量关系；接着根据浮沉条件判断浮力大小，再结合阿基米德原理推导排开水的体积关系；最后根据排开体积判断水面高度，利用液体压强公式得出杯底压强关系。
步骤1：质量判断：牙膏管挤瘪或撑开仅改变形状，所含物质的多少不变，因此质量相等；
步骤2：浮力判断：甲中牙膏管沉底，浮力小于自身重力；乙中牙膏管漂浮，浮力等于自身重力，同一牙膏管重力不变，故甲的浮力更小；
步骤3：排开体积判断：根据阿基米德原理，浮力越小，排开水的体积越小，因此甲排开体积小于乙；
步骤4：压强判断：排开体积越大，水面上升高度越高，结合液体压强公式，水面越高则杯底压强越大，故甲的压强更小。
【解析】
1. 质量关系：质量是物体本身的属性，不随形状改变而变化，因此挤瘪和撑开的牙膏管质量相等，即$m_{甲}=m_{乙}$；
2. 浮力关系：甲中牙膏管沉底，根据浮沉条件，沉底时浮力小于重力，即$F_{甲}＜G$；乙中牙膏管漂浮，漂浮时浮力等于重力，即$F_{乙}=G$；同一牙膏管重力$G$不变，因此$F_{甲}＜F_{乙}$；
3. 排开水的体积关系：由阿基米德原理$F_{浮}=ρ_{水}gV_{排}$，水的密度$ρ_{水}$和$g$为定值，因$F_{甲}＜F_{乙}$，所以排开水的体积$V_{甲}＜V_{乙}$；
4. 杯底压强关系：排开水的体积越大，水面上升的高度$h$越大，乙中排开体积更大，故乙中水面高度更高；根据液体压强公式$p=ρ_{水}gh$，水的密度不变，深度$h$越大压强越大，因此$p_{甲}＜p_{乙}$。
【答案】
= ＜ ＜ ＜
【知识点】
质量属性、浮沉条件与阿基米德原理、液体压强
【点评】
本题通过牙膏管的不同状态，综合考查了质量特性、浮沉条件、阿基米德原理和液体压强的应用，需理清各物理量的逻辑关系，是一道基础力学综合题。
【难度系数】
0.5
三、解答题
13. 小明按照教材第 93 页的“跨学科实践”要求制作简易密度计。
（1）取一根粗细均匀的饮料吸管，在其下端塞入适量金属丝并用石蜡封口。塞入金属丝的目的是使吸管能
（2）将吸管放到水中的情景如图甲所示，测得浸入的长度为 $ H $；放到另一液体中的情景如图乙所示，浸入的长度为 $ h $。用 $ \rho_{\mathrm{液}} $、$ \rho_{\mathrm{水}} $ 分别表示液体和水的密度，则 $ \rho_{\mathrm{液}} $
（第 13 题）
（3）小明根据图甲在吸管上标出 1.0 刻度线（单位：$\mathrm{g/cm}^3$，下同），再利用上述关系式进行计算，标出了 0.8、0.9、1.1、1.2 的刻度线（图中未画出）。结果发现，1.1 刻度线是在 1.0 刻度线的
（4）为检验刻度误差，小明取来食用油，先用天平和量筒测量其密度，然后用这个密度计测量。但操作时却出现了如图丙所示的情形，这让他很沮丧。难道实验就此终止了吗？根据经验或思考，在不更换食用油的情况下，可以进行的尝试有
13. 小明按照教材第 93 页的“跨学科实践”要求制作简易密度计。
（1）取一根粗细均匀的饮料吸管，在其下端塞入适量金属丝并用石蜡封口。塞入金属丝的目的是使吸管能
竖直漂浮
在液体中。（2）将吸管放到水中的情景如图甲所示，测得浸入的长度为 $ H $；放到另一液体中的情景如图乙所示，浸入的长度为 $ h $。用 $ \rho_{\mathrm{液}} $、$ \rho_{\mathrm{水}} $ 分别表示液体和水的密度，则 $ \rho_{\mathrm{液}} $
＞
（填“＞”“＜”或“=”）$ \rho_{\mathrm{水}} $，$ h $ 与 $ \rho_{\mathrm{水}} $、$ \rho_{\mathrm{液}} $ 及 $ H $ 的关系式是 $ h = $$\dfrac{\rho_{水}H}{\rho_{液}}$
。（第 13 题）
（3）小明根据图甲在吸管上标出 1.0 刻度线（单位：$\mathrm{g/cm}^3$，下同），再利用上述关系式进行计算，标出了 0.8、0.9、1.1、1.2 的刻度线（图中未画出）。结果发现，1.1 刻度线是在 1.0 刻度线的
下
（填“上”或“下”）方，相邻刻度线的间距是不均匀
（填“均匀”或“不均匀”）的。（4）为检验刻度误差，小明取来食用油，先用天平和量筒测量其密度，然后用这个密度计测量。但操作时却出现了如图丙所示的情形，这让他很沮丧。难道实验就此终止了吗？根据经验或思考，在不更换食用油的情况下，可以进行的尝试有
换用细长些的容器(或向容器中加食用油,合理即可)
（写出一个即可）。答案
13.(1) 竖直漂浮 (2) ＞ $\dfrac{\rho_{水}H}{\rho_{液}}$ (3) 下 不均匀 (4) 换用细长些的容器(或向容器中加食用油,合理即可)
解析
【分析】
本题围绕简易密度计的制作与使用展开，需结合物体漂浮条件、阿基米德原理分析各问题：
（1）塞入金属丝是为调整密度计重心，使其能竖直稳定漂浮在液体中，保证测量准确；
（2）密度计在不同液体中均漂浮，浮力等于自身重力，结合阿基米德原理可推导液体密度与浸入长度的关系，再根据图中浸入长度大小判断液体密度与水的大小；
（3）根据密度计刻度规律：液体密度越大，浸入深度越小，判断刻度线位置；再结合h与ρ液的反比关系，分析刻度线间距是否均匀；
（4）图丙中密度计沉底，说明浮力不足，需在不更换食用油的前提下，调整容器或操作方式，使密度计能漂浮在食用油中。
【解析】
（1）塞入金属丝可降低密度计重心，使吸管能竖直漂浮在液体中，保证测量时处于竖直状态，故答案为竖直漂浮；
（2）密度计在水和待测液体中均漂浮，因此浮力相等，即$F_{浮水}=F_{浮液}=G$。根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$，可得$\rho_{水}gSH=\rho_{液}gSh$（$S$为吸管横截面积，$H$为浸入水中的长度，$h$为浸入待测液体的长度），约去$gS$后得$\rho_{水}H=\rho_{液}h$，即$h=\dfrac{\rho_{水}H}{\rho_{液}}$。由图可知$h＜H$，代入关系式得$\rho_{液}=\dfrac{\rho_{水}H}{h}＞\rho_{水}$，故$\rho_{液}＞\rho_{水}$；
（3）由$h=\dfrac{\rho_{水}H}{\rho_{液}}$可知，液体密度$\rho_{液}$越大，浸入深度$h$越小，因此密度1.1（大于1.0）对应的浸入深度更小，故1.1刻度线在1.0刻度线的下方；由于$h$与$\rho_{液}$成反比，不是线性关系，因此相邻刻度线的间距不均匀；
（4）图丙中密度计沉底，是因为食用油中密度计的浮力不足，可换用细长些的容器，相同重力下密度计浸入深度更大，能漂浮；或向容器中加食用油，增大液体深度，使密度计有足够浸入空间漂浮。
【答案】
（1）竖直漂浮；（2）＞；$\dfrac{\rho_{水}H}{\rho_{液}}$；（3）下；不均匀；（4）换用细长些的容器（或向容器中加食用油，合理即可）
【知识点】
密度计原理、阿基米德原理、物体漂浮条件
【点评】
本题为跨学科实践类题目，考查密度计的工作原理，需结合漂浮条件和阿基米德原理分析，重点在于理解密度计漂浮时浮力等于重力，以及刻度线的分布规律，同时考查学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
本题围绕简易密度计的制作与使用展开，需结合物体漂浮条件、阿基米德原理分析各问题：
（1）塞入金属丝是为调整密度计重心，使其能竖直稳定漂浮在液体中，保证测量准确；
（2）密度计在不同液体中均漂浮，浮力等于自身重力，结合阿基米德原理可推导液体密度与浸入长度的关系，再根据图中浸入长度大小判断液体密度与水的大小；
（3）根据密度计刻度规律：液体密度越大，浸入深度越小，判断刻度线位置；再结合h与ρ液的反比关系，分析刻度线间距是否均匀；
（4）图丙中密度计沉底，说明浮力不足，需在不更换食用油的前提下，调整容器或操作方式，使密度计能漂浮在食用油中。
【解析】
（1）塞入金属丝可降低密度计重心，使吸管能竖直漂浮在液体中，保证测量时处于竖直状态，故答案为竖直漂浮；
（2）密度计在水和待测液体中均漂浮，因此浮力相等，即$F_{浮水}=F_{浮液}=G$。根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$，可得$\rho_{水}gSH=\rho_{液}gSh$（$S$为吸管横截面积，$H$为浸入水中的长度，$h$为浸入待测液体的长度），约去$gS$后得$\rho_{水}H=\rho_{液}h$，即$h=\dfrac{\rho_{水}H}{\rho_{液}}$。由图可知$h＜H$，代入关系式得$\rho_{液}=\dfrac{\rho_{水}H}{h}＞\rho_{水}$，故$\rho_{液}＞\rho_{水}$；
（3）由$h=\dfrac{\rho_{水}H}{\rho_{液}}$可知，液体密度$\rho_{液}$越大，浸入深度$h$越小，因此密度1.1（大于1.0）对应的浸入深度更小，故1.1刻度线在1.0刻度线的下方；由于$h$与$\rho_{液}$成反比，不是线性关系，因此相邻刻度线的间距不均匀；
（4）图丙中密度计沉底，是因为食用油中密度计的浮力不足，可换用细长些的容器，相同重力下密度计浸入深度更大，能漂浮；或向容器中加食用油，增大液体深度，使密度计有足够浸入空间漂浮。
【答案】
（1）竖直漂浮；（2）＞；$\dfrac{\rho_{水}H}{\rho_{液}}$；（3）下；不均匀；（4）换用细长些的容器（或向容器中加食用油，合理即可）
【知识点】
密度计原理、阿基米德原理、物体漂浮条件
【点评】
本题为跨学科实践类题目，考查密度计的工作原理，需结合漂浮条件和阿基米德原理分析，重点在于理解密度计漂浮时浮力等于重力，以及刻度线的分布规律，同时考查学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
14. 如图所示,放在水平桌面上的薄壁圆柱形容器重 4 N,底面积为 100 cm²,弹簧测力计的挂钩上挂着重为 10 N 的物块,现将物块浸入水中,容器内水面由16 cm 上升到 20 cm。求:(g 取 10 N/kg,ρ水=1.0×10³ kg/m³)
(1) 物块的密度。
(2) 物块受到的浮力。
(3) 弹簧测力计的示数。
(4) 物块浸入水中后,容器对桌面的压强。
(1) 物块的密度。
(2) 物块受到的浮力。
(3) 弹簧测力计的示数。
(4) 物块浸入水中后,容器对桌面的压强。
答案
14. (1) $2.5× 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$ (2) 4 N (3) 6 N (4) $2.4× 10^3\ \mathrm{Pa}$
解析
【分析】
要解决本题，需逐步梳理各物理量的关联：
1. 物块浸入水中时，排开水的体积等于容器中水面上升的体积，据此可求物块体积；结合物块重力算出质量，进而计算密度。
2. 利用阿基米德原理，根据排开液体体积计算物块受到的浮力。
3. 弹簧测力计的示数等于物块重力减去浮力（受力平衡）。
4. 容器对桌面的压力等于容器重力、水的重力与物块对水的压力之和（或整体受力分析：总重力减去弹簧测力计拉力），再结合压强公式计算压强。
【解析】
先统一单位：容器底面积 $ S = 100\ \mathrm{cm}^2 = 0.01\ \mathrm{m}^2 $，水面上升高度 $ \Delta h = 20\ \mathrm{cm} - 16\ \mathrm{cm} = 4\ \mathrm{cm} = 0.04\ \mathrm{m} $。
(1) 物块排开水的体积：$ V_{\mathrm{排}} = S · \Delta h = 0.01\ \mathrm{m}^2 × 0.04\ \mathrm{m} = 4 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3 $，物块体积 $ V_{\mathrm{物}} = V_{\mathrm{排}} = 4 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3 $。
物块质量：$ m = \frac{G}{g} = \frac{10\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}} = 1\ \mathrm{kg} $，
物块密度：$ \rho = \frac{m}{V_{\mathrm{物}}} = \frac{1\ \mathrm{kg}}{4 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3} = 2.5 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 $。
(2) 根据阿基米德原理，物块受到的浮力：
$ F_{\mathrm{浮}} = \rho_{\mathrm{水}} g V_{\mathrm{排}} = 1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 10\ \mathrm{N/kg} × 4 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3 = 4\ \mathrm{N} $。
(3) 弹簧测力计的示数：$ F_{\mathrm{示}} = G - F_{\mathrm{浮}} = 10\ \mathrm{N} - 4\ \mathrm{N} = 6\ \mathrm{N} $。
(4) 容器内水的体积：$ V_{\mathrm{水}} = S · h_1 = 0.01\ \mathrm{m}^2 × 0.16\ \mathrm{m} = 1.6 × 10^{-3}\ \mathrm{m}^3 $，
水的重力：$ G_{\mathrm{水}} = m_{\mathrm{水}} g = \rho_{\mathrm{水}} V_{\mathrm{水}} g = 1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 1.6 × 10^{-3}\ \mathrm{m}^3 × 10\ \mathrm{N/kg} = 16\ \mathrm{N} $，
容器对桌面的压力：$ F_{\mathrm{压}} = G_{\mathrm{容器}} + G_{\mathrm{水}} + F_{\mathrm{浮}} = 4\ \mathrm{N} + 16\ \mathrm{N} + 4\ \mathrm{N} = 24\ \mathrm{N} $，
容器对桌面的压强：$ p = \frac{F_{\mathrm{压}}}{S} = \frac{24\ \mathrm{N}}{0.01\ \mathrm{m}^2} = 2.4 × 10^3\ \mathrm{Pa} $。
【答案】
(1) $ 2.5 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 $；(2) $ 4\ \mathrm{N} $；(3) $ 6\ \mathrm{N} $；(4) $ 2.4 × 10^3\ \mathrm{Pa} $
【知识点】
密度计算、阿基米德原理、固体压强计算
【点评】
本题综合考查密度、浮力、压强的计算，关键是明确排开液体体积与水面上升体积的关系，以及容器对桌面压力的分析方法，需熟练运用相关公式并注意单位统一。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需逐步梳理各物理量的关联：
1. 物块浸入水中时，排开水的体积等于容器中水面上升的体积，据此可求物块体积；结合物块重力算出质量，进而计算密度。
2. 利用阿基米德原理，根据排开液体体积计算物块受到的浮力。
3. 弹簧测力计的示数等于物块重力减去浮力（受力平衡）。
4. 容器对桌面的压力等于容器重力、水的重力与物块对水的压力之和（或整体受力分析：总重力减去弹簧测力计拉力），再结合压强公式计算压强。
【解析】
先统一单位：容器底面积 $ S = 100\ \mathrm{cm}^2 = 0.01\ \mathrm{m}^2 $，水面上升高度 $ \Delta h = 20\ \mathrm{cm} - 16\ \mathrm{cm} = 4\ \mathrm{cm} = 0.04\ \mathrm{m} $。
(1) 物块排开水的体积：$ V_{\mathrm{排}} = S · \Delta h = 0.01\ \mathrm{m}^2 × 0.04\ \mathrm{m} = 4 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3 $，物块体积 $ V_{\mathrm{物}} = V_{\mathrm{排}} = 4 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3 $。
物块质量：$ m = \frac{G}{g} = \frac{10\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}} = 1\ \mathrm{kg} $，
物块密度：$ \rho = \frac{m}{V_{\mathrm{物}}} = \frac{1\ \mathrm{kg}}{4 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3} = 2.5 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 $。
(2) 根据阿基米德原理，物块受到的浮力：
$ F_{\mathrm{浮}} = \rho_{\mathrm{水}} g V_{\mathrm{排}} = 1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 10\ \mathrm{N/kg} × 4 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3 = 4\ \mathrm{N} $。
(3) 弹簧测力计的示数：$ F_{\mathrm{示}} = G - F_{\mathrm{浮}} = 10\ \mathrm{N} - 4\ \mathrm{N} = 6\ \mathrm{N} $。
(4) 容器内水的体积：$ V_{\mathrm{水}} = S · h_1 = 0.01\ \mathrm{m}^2 × 0.16\ \mathrm{m} = 1.6 × 10^{-3}\ \mathrm{m}^3 $，
水的重力：$ G_{\mathrm{水}} = m_{\mathrm{水}} g = \rho_{\mathrm{水}} V_{\mathrm{水}} g = 1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 1.6 × 10^{-3}\ \mathrm{m}^3 × 10\ \mathrm{N/kg} = 16\ \mathrm{N} $，
容器对桌面的压力：$ F_{\mathrm{压}} = G_{\mathrm{容器}} + G_{\mathrm{水}} + F_{\mathrm{浮}} = 4\ \mathrm{N} + 16\ \mathrm{N} + 4\ \mathrm{N} = 24\ \mathrm{N} $，
容器对桌面的压强：$ p = \frac{F_{\mathrm{压}}}{S} = \frac{24\ \mathrm{N}}{0.01\ \mathrm{m}^2} = 2.4 × 10^3\ \mathrm{Pa} $。
【答案】
(1) $ 2.5 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 $；(2) $ 4\ \mathrm{N} $；(3) $ 6\ \mathrm{N} $；(4) $ 2.4 × 10^3\ \mathrm{Pa} $
【知识点】
密度计算、阿基米德原理、固体压强计算
【点评】
本题综合考查密度、浮力、压强的计算，关键是明确排开液体体积与水面上升体积的关系，以及容器对桌面压力的分析方法，需熟练运用相关公式并注意单位统一。
【难度系数】
0.6
