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1. 下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是 （）
A.$x^2 + 4y^2$
B.$3x^2 - 4y$
C.$-\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9}$
D.$-\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9}$
A.$x^2 + 4y^2$
B.$3x^2 - 4y$
C.$-\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9}$
D.$-\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9}$
答案
C
解析
【分析】
要判断哪个多项式能运用平方差公式分解因式，需明确平方差公式分解因式的核心条件：多项式需为两项式，两项符号相反，且每一项都能写成某个整式的平方形式（即符合$a^2 - b^2$的结构）。接下来逐一验证选项是否满足该条件。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：$x^2 + 4y^2$是两项的平方和，两项符号相同，不符合平方差公式的结构，无法用平方差公式分解因式；
选项B：$3x^2 - 4y$中，$3x^2$的系数不是完全平方数，$4y$不是整式的平方项，不符合平方差公式的结构，无法分解；
选项C：$-\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9}$可变形为$(\dfrac{y}{3})^2 - (\dfrac{x}{2})^2$，是两项的平方差，符号相反，符合平方差公式的结构，能运用平方差公式分解因式；
选项D：$-\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9}$是两项的平方和的相反数，两项符号相同，不符合平方差公式的结构，无法分解。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的条件，需准确把握“两项、异号、均为平方形式”的核心要求，属于基础题型，侧重对公式结构的理解。
【难度系数】
0.7
要判断哪个多项式能运用平方差公式分解因式，需明确平方差公式分解因式的核心条件：多项式需为两项式，两项符号相反，且每一项都能写成某个整式的平方形式（即符合$a^2 - b^2$的结构）。接下来逐一验证选项是否满足该条件。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：$x^2 + 4y^2$是两项的平方和，两项符号相同，不符合平方差公式的结构，无法用平方差公式分解因式；
选项B：$3x^2 - 4y$中，$3x^2$的系数不是完全平方数，$4y$不是整式的平方项，不符合平方差公式的结构，无法分解；
选项C：$-\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9}$可变形为$(\dfrac{y}{3})^2 - (\dfrac{x}{2})^2$，是两项的平方差，符号相反，符合平方差公式的结构，能运用平方差公式分解因式；
选项D：$-\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9}$是两项的平方和的相反数，两项符号相同，不符合平方差公式的结构，无法分解。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的条件，需准确把握“两项、异号、均为平方形式”的核心要求，属于基础题型，侧重对公式结构的理解。
【难度系数】
0.7
2. 下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是（）
A.$a^{2}+(-b)^{2}$
B.$5m^{2}-20mn$
C.$x^{2}+y^{2}$
D.$-x^{2}+9$
A.$a^{2}+(-b)^{2}$
B.$5m^{2}-20mn$
C.$x^{2}+y^{2}$
D.$-x^{2}+9$
答案
D
解析
【分析】要判断哪个多项式能用平方差公式分解因式，需先明确平方差公式分解因式的核心条件：多项式为两项，且两项可表示为两个整式的平方，符号相反（即形如$A^2 - B^2$）。据此逐一分析各选项是否满足该条件即可。
【解析】平方差公式分解因式的要求是：①多项式是两项式；②两项均能写成整式的平方形式；③两项符号相反。
选项A：$a^2 + (-b)^2 = a^2 + b^2$，是平方和，符号相同，不符合条件；
选项B：$5m^2 -20mn$，两项不是平方形式，需提取公因式分解，不符合条件；
选项C：$x^2 + y^2$，是平方和，符号相同，不符合条件；
选项D：$-x^2 +9 = 3^2 - x^2$，是两个整式的平方差，满足平方差公式分解的条件。
【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式
【点评】本题考查平方差公式分解因式的结构特征，需准确区分平方和与平方差，属于因式分解的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】平方差公式分解因式的要求是：①多项式是两项式；②两项均能写成整式的平方形式；③两项符号相反。
选项A：$a^2 + (-b)^2 = a^2 + b^2$，是平方和，符号相同，不符合条件；
选项B：$5m^2 -20mn$，两项不是平方形式，需提取公因式分解，不符合条件；
选项C：$x^2 + y^2$，是平方和，符号相同，不符合条件；
选项D：$-x^2 +9 = 3^2 - x^2$，是两个整式的平方差，满足平方差公式分解的条件。
【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式
【点评】本题考查平方差公式分解因式的结构特征，需准确区分平方和与平方差，属于因式分解的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
3. 下列多项式中,能运用完全平方公式分解因式的是
（）
A.$x^2 - 2x - 1$
B.$x^2 + 2x + 4$
C.$x^2 - 6x + 9$
D.$x^2 + \frac{1}{4}xy + \frac{1}{4}y^2$
（）
A.$x^2 - 2x - 1$
B.$x^2 + 2x + 4$
C.$x^2 - 6x + 9$
D.$x^2 + \frac{1}{4}xy + \frac{1}{4}y^2$
答案
C
解析
【分析】
要判断多项式能否用完全平方公式分解，需先明确完全平方公式的结构：形如$a^2\pm2ab+b^2$的三项式，可分解为$(a\pm b)^2$，需满足两个平方项符号相同，剩余项为两平方项底数乘积的±2倍。接下来逐一分析选项是否符合该结构。
【解析】
根据完全平方公式的结构特征，逐一分析各选项：
选项A：$x^2 -2x -1$，虽有$x^2$为平方项，但常数项为$-1$（非正平方项），不满足公式要求，排除；
选项B：$x^2 +2x +4$，平方项为$x^2$和$2^2$，中间项应为$\pm2· x·2=\pm4x$，此处为$2x$，不符合，排除；
选项C：$x^2 -6x +9$，可变形为$x^2 -2· x·3 +3^2$，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，满足条件；
选项D：$x^2 +\frac{1}{4}xy +\frac{1}{4}y^2$，平方项为$x^2$和$(\frac{1}{2}y)^2$，中间项应为$\pm2· x·\frac{1}{2}y=\pm xy$，此处为$\frac{1}{4}xy$，不符合，排除。
综上，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
因式分解-完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方公式的结构特征，属于因式分解的基础题型，需牢记公式形式，逐一验证即可得出答案，难度较低。
【难度系数】
0.7
要判断多项式能否用完全平方公式分解，需先明确完全平方公式的结构：形如$a^2\pm2ab+b^2$的三项式，可分解为$(a\pm b)^2$，需满足两个平方项符号相同，剩余项为两平方项底数乘积的±2倍。接下来逐一分析选项是否符合该结构。
【解析】
根据完全平方公式的结构特征，逐一分析各选项：
选项A：$x^2 -2x -1$，虽有$x^2$为平方项，但常数项为$-1$（非正平方项），不满足公式要求，排除；
选项B：$x^2 +2x +4$，平方项为$x^2$和$2^2$，中间项应为$\pm2· x·2=\pm4x$，此处为$2x$，不符合，排除；
选项C：$x^2 -6x +9$，可变形为$x^2 -2· x·3 +3^2$，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，满足条件；
选项D：$x^2 +\frac{1}{4}xy +\frac{1}{4}y^2$，平方项为$x^2$和$(\frac{1}{2}y)^2$，中间项应为$\pm2· x·\frac{1}{2}y=\pm xy$，此处为$\frac{1}{4}xy$，不符合，排除。
综上，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
因式分解-完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方公式的结构特征，属于因式分解的基础题型，需牢记公式形式，逐一验证即可得出答案，难度较低。
【难度系数】
0.7
4. 下列多项式不能用公式法因式分解的是
（）
A.$a^2 - 8a + 16$
B.$a^2 + \frac{1}{2}a + \frac{1}{16}$
C.$-a^2 - 9$
D.$a^2 - 4$
（）
A.$a^2 - 8a + 16$
B.$a^2 + \frac{1}{2}a + \frac{1}{16}$
C.$-a^2 - 9$
D.$a^2 - 4$
答案
C
解析
【分析】
要判断多项式能否用公式法因式分解，需先明确公式法的两种核心公式：完全平方公式$a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$和平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，再逐一分析各选项是否符合这两个公式的结构特征，进而确定能否用公式法分解。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：$a^2 -8a +16$，符合完全平方公式的结构（$a^2 -2×a×4 +4^2$），可分解为$(a-4)^2$，能用公式法因式分解；
选项B：$a^2 + \frac{1}{2}a + \frac{1}{16}$，符合完全平方公式的结构（$a^2 +2×a×\frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2$），可分解为$(a+\frac{1}{4})^2$，能用公式法因式分解；
选项C：$-a^2 -9 = -(a^2 +9)$，$a^2 +9$是平方和，既不符合平方差公式（需为两个平方项的差），也不符合完全平方公式，不能用公式法因式分解；
选项D：$a^2 -4 = a^2 -2^2$，符合平方差公式的结构，可分解为$(a+2)(a-2)$，能用公式法因式分解。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的公式法、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题考查公式法因式分解的应用，核心是掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征，尤其注意符号的判断，避免混淆平方和与平方差的结构，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
要判断多项式能否用公式法因式分解，需先明确公式法的两种核心公式：完全平方公式$a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$和平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，再逐一分析各选项是否符合这两个公式的结构特征，进而确定能否用公式法分解。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：$a^2 -8a +16$，符合完全平方公式的结构（$a^2 -2×a×4 +4^2$），可分解为$(a-4)^2$，能用公式法因式分解；
选项B：$a^2 + \frac{1}{2}a + \frac{1}{16}$，符合完全平方公式的结构（$a^2 +2×a×\frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2$），可分解为$(a+\frac{1}{4})^2$，能用公式法因式分解；
选项C：$-a^2 -9 = -(a^2 +9)$，$a^2 +9$是平方和，既不符合平方差公式（需为两个平方项的差），也不符合完全平方公式，不能用公式法因式分解；
选项D：$a^2 -4 = a^2 -2^2$，符合平方差公式的结构，可分解为$(a+2)(a-2)$，能用公式法因式分解。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的公式法、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题考查公式法因式分解的应用，核心是掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征，尤其注意符号的判断，避免混淆平方和与平方差的结构，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
5. 如果多项式 $x^2 + 1$ 加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，那么添加的单项式不可以是（）
A.$2x$
B.$-2x$
C.$\frac{1}{4}x^4$
D.$-\frac{1}{4}x^4$
A.$2x$
B.$-2x$
C.$\frac{1}{4}x^4$
D.$-\frac{1}{4}x^4$
答案
D
解析
【分析】要解决这个问题，需回忆完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，分情况讨论添加单项式后是否符合该公式：①添加一次项时，对应公式的中间项；②添加四次项时，对应公式的首项，逐一验证选项即可。
【解析】完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对各选项逐一分析：
选项A：添加$2x$后，式子为$x^2+2x+1=(x+1)^2$，符合完全平方公式，可因式分解；
选项B：添加$-2x$后，式子为$x^2-2x+1=(x-1)^2$，符合完全平方公式，可因式分解；
选项C：添加$\frac{1}{4}x^4$后，式子为$\frac{1}{4}x^4 +x^2 +1=(\frac{1}{2}x^2 +1)^2$，符合完全平方公式，可因式分解；
选项D：添加$-\frac{1}{4}x^4$后，式子为$x^2 +1 -\frac{1}{4}x^4$，整理为$-\frac{1}{4}x^4 +x^2 +1$，无法写成完全平方的形式，不能用完全平方公式因式分解。
因此添加的单项式不可以是$-\frac{1}{4}x^4$，答案选D。
【答案】D
【知识点】完全平方公式、因式分解
【点评】本题考查完全平方公式的应用，需全面考虑添加单项式的不同情况，避免漏解，关键是掌握完全平方公式的结构特征，验证每个选项是否符合公式要求。
【难度系数】0.5
【解析】完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对各选项逐一分析：
选项A：添加$2x$后，式子为$x^2+2x+1=(x+1)^2$，符合完全平方公式，可因式分解；
选项B：添加$-2x$后，式子为$x^2-2x+1=(x-1)^2$，符合完全平方公式，可因式分解；
选项C：添加$\frac{1}{4}x^4$后，式子为$\frac{1}{4}x^4 +x^2 +1=(\frac{1}{2}x^2 +1)^2$，符合完全平方公式，可因式分解；
选项D：添加$-\frac{1}{4}x^4$后，式子为$x^2 +1 -\frac{1}{4}x^4$，整理为$-\frac{1}{4}x^4 +x^2 +1$，无法写成完全平方的形式，不能用完全平方公式因式分解。
因此添加的单项式不可以是$-\frac{1}{4}x^4$，答案选D。
【答案】D
【知识点】完全平方公式、因式分解
【点评】本题考查完全平方公式的应用，需全面考虑添加单项式的不同情况，避免漏解，关键是掌握完全平方公式的结构特征，验证每个选项是否符合公式要求。
【难度系数】0.5
6. 已知多项式$ x^2 + ax + 16 $可以用完全平方公式进行因式分解，则 a 的值为___________。
答案
$\pm8$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式在因式分解中的应用，解题思路是先明确完全平方公式的结构特征，再将给定多项式与公式对比，确定对应项的关系，进而求出a的可能值，需注意完全平方公式有两种形式，中间项符号存在两种情况。
【解析】
根据完全平方公式：$(x\pm b)^2 = x^2 \pm 2bx + b^2$，已知多项式$x^2 + ax + 16$可分解为完全平方形式，对比公式可得：
常数项满足$16 = b^2$，解得$b = \pm4$；
中间项满足$ax = \pm 2 · x · b$，将$b=\pm4$代入：
当$b=4$时，$ax=2 · x ·4=8x$，故$a=8$；
当$b=-4$时，$ax=2 · x · (-4)=-8x$，故$a=-8$；
综上，$a$的值为$\pm8$。
【答案】
$\pm8$
【知识点】
完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用，需注意完全平方公式的两种形式，中间项符号存在正负两种可能，解题时要全面考虑，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题考查完全平方公式在因式分解中的应用，解题思路是先明确完全平方公式的结构特征，再将给定多项式与公式对比，确定对应项的关系，进而求出a的可能值，需注意完全平方公式有两种形式，中间项符号存在两种情况。
【解析】
根据完全平方公式：$(x\pm b)^2 = x^2 \pm 2bx + b^2$，已知多项式$x^2 + ax + 16$可分解为完全平方形式，对比公式可得：
常数项满足$16 = b^2$，解得$b = \pm4$；
中间项满足$ax = \pm 2 · x · b$，将$b=\pm4$代入：
当$b=4$时，$ax=2 · x ·4=8x$，故$a=8$；
当$b=-4$时，$ax=2 · x · (-4)=-8x$，故$a=-8$；
综上，$a$的值为$\pm8$。
【答案】
$\pm8$
【知识点】
完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用，需注意完全平方公式的两种形式，中间项符号存在正负两种可能，解题时要全面考虑，避免漏解。
【难度系数】
0.6
7. 设$ P = x^2 - 3xy $，$ Q = 3xy - 9y^2 $，若$ P = Q $，则$\frac{x}{y}$的值为________。
答案
3
解析
【分析】首先根据题目给出的$P=Q$的条件，将$P$和$Q$的表达式代入等式，通过移项整理得到关于$x$、$y$的整式方程，再利用完全平方公式因式分解，结合求比值时分母不为0的隐含条件，即可求出$\frac{x}{y}$的值。
【解析】已知$P = Q$，将$P = x^2 - 3xy$，$Q = 3xy - 9y^2$代入得：
$x^2 - 3xy = 3xy - 9y^2$
移项整理：$x^2 - 3xy - 3xy + 9y^2 = 0$，即$x^2 - 6xy + 9y^2 = 0$
利用完全平方公式因式分解得：$(x - 3y)^2 = 0$
因此$x - 3y = 0$，即$x = 3y$
由于求$\frac{x}{y}$，分母$y ≠ 0$，故$\frac{x}{y} = \frac{3y}{y} = 3$
【答案】3
【知识点】整式运算、因式分解
【点评】本题考查整式变形与因式分解的应用，核心是通过等式整理得到完全平方式推导$x$与$y$的关系，需注意隐含的分母不为0的条件，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】已知$P = Q$，将$P = x^2 - 3xy$，$Q = 3xy - 9y^2$代入得：
$x^2 - 3xy = 3xy - 9y^2$
移项整理：$x^2 - 3xy - 3xy + 9y^2 = 0$，即$x^2 - 6xy + 9y^2 = 0$
利用完全平方公式因式分解得：$(x - 3y)^2 = 0$
因此$x - 3y = 0$，即$x = 3y$
由于求$\frac{x}{y}$，分母$y ≠ 0$，故$\frac{x}{y} = \frac{3y}{y} = 3$
【答案】3
【知识点】整式运算、因式分解
【点评】本题考查整式变形与因式分解的应用，核心是通过等式整理得到完全平方式推导$x$与$y$的关系，需注意隐含的分母不为0的条件，属于基础题型。
【难度系数】0.6
8. 因式分解:$(x^2 - 7)^2 + 4(7 - x^2) + 4.$
答案
$(x+3)^2(x-3)^2$
解析
【分析】
这道题是因式分解题，解题思路是：先观察式子中“7 - x²”与“x² -7”互为相反数，将原式变形为关于(x² -7)的二次三项式，使其符合完全平方公式的结构；利用完全平方公式分解后，得到的结果中又出现平方差形式，再用平方差公式继续分解，直到不能分解为止。
【解析】
解：原式=$(x^2 -7)^2 -4(x^2 -7) +4$ （将$4(7 -x^2)$转化为$-4(x^2 -7)$，构造完全平方公式结构）
$=[(x^2 -7) -2]^2$ （把$x^2 -7$看作整体，应用完全平方公式$a^2 -2ab +b^2=(a -b)^2$，其中$a=x^2 -7$，$b=2$）
$=(x^2 -9)^2$ （化简括号内的式子）
$=[(x +3)(x -3)]^2$ （应用平方差公式$a^2 -b^2=(a +b)(a -b)$，分解$x^2 -9$）
$=(x +3)^2(x -3)^2$ （根据积的乘方运算法则展开）
【答案】
$(x+3)^2(x-3)^2$
【知识点】
因式分解、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的公式法应用，需先通过变形构造公式结构，再逐步分解至最简形式，是初中因式分解的基础题型，重点考察对完全平方公式和平方差公式的掌握与灵活运用。
【难度系数】
0.7
这道题是因式分解题，解题思路是：先观察式子中“7 - x²”与“x² -7”互为相反数，将原式变形为关于(x² -7)的二次三项式，使其符合完全平方公式的结构；利用完全平方公式分解后，得到的结果中又出现平方差形式，再用平方差公式继续分解，直到不能分解为止。
【解析】
解：原式=$(x^2 -7)^2 -4(x^2 -7) +4$ （将$4(7 -x^2)$转化为$-4(x^2 -7)$，构造完全平方公式结构）
$=[(x^2 -7) -2]^2$ （把$x^2 -7$看作整体，应用完全平方公式$a^2 -2ab +b^2=(a -b)^2$，其中$a=x^2 -7$，$b=2$）
$=(x^2 -9)^2$ （化简括号内的式子）
$=[(x +3)(x -3)]^2$ （应用平方差公式$a^2 -b^2=(a +b)(a -b)$，分解$x^2 -9$）
$=(x +3)^2(x -3)^2$ （根据积的乘方运算法则展开）
【答案】
$(x+3)^2(x-3)^2$
【知识点】
因式分解、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的公式法应用，需先通过变形构造公式结构，再逐步分解至最简形式，是初中因式分解的基础题型，重点考察对完全平方公式和平方差公式的掌握与灵活运用。
【难度系数】
0.7
9. 先阅读材料，再解答问题.
因式分解：$(x-2y)^2 - 2(x-2y) + 1$.
解：将$(x - 2y)$看成一个整体，设
$(x-2y)=A$，
则原式$=A^2 - 2A + 1=(A-1)^2$，
再将$(x-2y)=A$代入，
得原式$=(x-2y-1)^2$.
以上解题过程中用到的是“整体思想”，
它是数学中常用的一种思想.
（1）因式分解：$16+8(x-y)+(x-y)^2$；
（2）因式分解：$9x^2+6xy+y^2-25$；
（3）已知一个长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为
$y\ \mathrm{cm}$，且$(x+y)^2 - 2x - 2y + 1 = 0$，
求该长方形的周长.
因式分解：$(x-2y)^2 - 2(x-2y) + 1$.
解：将$(x - 2y)$看成一个整体，设
$(x-2y)=A$，
则原式$=A^2 - 2A + 1=(A-1)^2$，
再将$(x-2y)=A$代入，
得原式$=(x-2y-1)^2$.
以上解题过程中用到的是“整体思想”，
它是数学中常用的一种思想.
（1）因式分解：$16+8(x-y)+(x-y)^2$；
（2）因式分解：$9x^2+6xy+y^2-25$；
（3）已知一个长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为
$y\ \mathrm{cm}$，且$(x+y)^2 - 2x - 2y + 1 = 0$，
求该长方形的周长.
答案
（1）$\boldsymbol{(x-y+4)^2}$
（2）$\boldsymbol{(3x+y+5)(3x+y-5)}$
（3）该长方形的周长为$\boldsymbol{2\ \mathrm{cm}}$
（2）$\boldsymbol{(3x+y+5)(3x+y-5)}$
（3）该长方形的周长为$\boldsymbol{2\ \mathrm{cm}}$
解析
【分析】本题运用整体思想结合因式分解公式解题，（1）将$(x - y)$视为整体，利用完全平方公式分解；（2）先分组用完全平方公式，再用平方差公式分解；（3）将$(x + y)$视为整体，利用完全平方公式求出$x + y$的值，再结合长方形周长公式计算。
【解析】（1）设$A = x - y$，则原式$= A^2 + 8A + 16 = (A + 4)^2$，代回得$(x - y + 4)^2$；
（2）原式前三项$9x^2 + 6xy + y^2 = (3x + y)^2$，则原式$= (3x + y)^2 - 25 = (3x + y + 5)(3x + y - 5)$；
（3）设$B = x + y$，则原式$= B^2 - 2B + 1 = (B - 1)^2 = 0$，解得$B = 1$，即$x + y = 1$，长方形周长为$2(x + y) = 2×1 = 2\ \mathrm{cm}$。
【答案】（1）$(x - y + 4)^2$；（2）$(3x + y + 5)(3x + y - 5)$；（3）$2\ \mathrm{cm}$
【知识点】因式分解（整体思想）、完全平方公式、平方差公式
【点评】本题通过整体思想简化因式分解，结合公式与几何计算，考查学生对公式的掌握及整体思想的应用，题型典型，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】（1）设$A = x - y$，则原式$= A^2 + 8A + 16 = (A + 4)^2$，代回得$(x - y + 4)^2$；
（2）原式前三项$9x^2 + 6xy + y^2 = (3x + y)^2$，则原式$= (3x + y)^2 - 25 = (3x + y + 5)(3x + y - 5)$；
（3）设$B = x + y$，则原式$= B^2 - 2B + 1 = (B - 1)^2 = 0$，解得$B = 1$，即$x + y = 1$，长方形周长为$2(x + y) = 2×1 = 2\ \mathrm{cm}$。
【答案】（1）$(x - y + 4)^2$；（2）$(3x + y + 5)(3x + y - 5)$；（3）$2\ \mathrm{cm}$
【知识点】因式分解（整体思想）、完全平方公式、平方差公式
【点评】本题通过整体思想简化因式分解，结合公式与几何计算，考查学生对公式的掌握及整体思想的应用，题型典型，难度适中。
【难度系数】0.6
