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8 如图,点 A,C 分别在$∠ GBE$的边 BG,BE 上,且$AB=AC,AD// BE$,$∠ GBE$的平分线与 AD 交于点 D,连接 CD. 求证:
(1)$AB=AD$;
(2)CD 平分$∠ ACE$.
(1)$AB=AD$;
(2)CD 平分$∠ ACE$.
答案
8. (1) $\because AD// BE,\therefore ∠ ADB=∠ DBC.\because BD$ 平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABD=∠ DBC.\therefore ∠ ABD=∠ ADB.\therefore AB=AD$
(2) $\because AD// BE,\therefore ∠ ADC=∠ DCE$. 由(1),知 $AB=AD$, 又 $\because AB=AC,\therefore AC=AD.\therefore ∠ ACD=∠ ADC.\therefore ∠ ACD=∠ DCE.\therefore CD$ 平分$∠ ACE$
(2) $\because AD// BE,\therefore ∠ ADC=∠ DCE$. 由(1),知 $AB=AD$, 又 $\because AB=AC,\therefore AC=AD.\therefore ∠ ACD=∠ ADC.\therefore ∠ ACD=∠ DCE.\therefore CD$ 平分$∠ ACE$
解析
【分析】
要证明(1)AB=AD，需结合平行线的性质和角平分线的定义推导角相等，进而利用等腰三角形的判定定理得到结论；证明(2)CD平分∠ACE，需借助(1)的结论，通过等量代换得到边相等，再结合平行线的性质推导角相等，从而完成角平分线的证明。
【解析】
(1) 因为AD//BE，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠ADB=∠DBC。
又因为BD平分∠GBE（即∠ABC），根据角平分线的定义，∠ABD=∠DBC。
所以∠ABD=∠ADB，根据“等角对等边”，因此AB=AD。
(2) 因为AD//BE，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠ADC=∠DCE。
由(1)知AB=AD，又已知AB=AC，通过等量代换得AC=AD，根据“等边对等角”，所以∠ACD=∠ADC。
因此∠ACD=∠DCE，即CD平分∠ACE。
【答案】
(1) AB=AD，证明成立；(2) CD平分∠ACE，证明成立。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题为几何基础证明题，核心考查“平行线+角平分线”构造等腰三角形的模型，需熟练运用平行线、角平分线及等腰三角形的相关性质，是初中几何的典型基础题型。
【难度系数】
0.6
要证明(1)AB=AD，需结合平行线的性质和角平分线的定义推导角相等，进而利用等腰三角形的判定定理得到结论；证明(2)CD平分∠ACE，需借助(1)的结论，通过等量代换得到边相等，再结合平行线的性质推导角相等，从而完成角平分线的证明。
【解析】
(1) 因为AD//BE，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠ADB=∠DBC。
又因为BD平分∠GBE（即∠ABC），根据角平分线的定义，∠ABD=∠DBC。
所以∠ABD=∠ADB，根据“等角对等边”，因此AB=AD。
(2) 因为AD//BE，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠ADC=∠DCE。
由(1)知AB=AD，又已知AB=AC，通过等量代换得AC=AD，根据“等边对等角”，所以∠ACD=∠ADC。
因此∠ACD=∠DCE，即CD平分∠ACE。
【答案】
(1) AB=AD，证明成立；(2) CD平分∠ACE，证明成立。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题为几何基础证明题，核心考查“平行线+角平分线”构造等腰三角形的模型，需熟练运用平行线、角平分线及等腰三角形的相关性质，是初中几何的典型基础题型。
【难度系数】
0.6
9 如图,在$△ ABC$中,$AC ⊥ BC$,$∠ B=40^{ \circ }$,$D$是边$AB$上一点,过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$D$,交$AC$的延长线于点$E$,$F$是$AE$延长线上一点,且$EF=DE$,连接$DF$.求$∠ F$的度数.
答案
9. $\because AC⊥ BC,∠ B=40°,\therefore ∠ A=90°-∠ B=50°.\because DE⊥ AB,\therefore ∠ AED=90°-∠ A=90°-50°=40°.\therefore ∠ AED=∠ F+∠ EDF=40°.\because EF=DE,\therefore ∠ F=∠ EDF.\therefore 2∠ F=40°.\therefore ∠ F=20°$
解析
【分析】
要解决本题，首先利用直角三角形两锐角互余求出∠A的度数；再根据DE⊥AB，结合直角三角形两锐角互余求出∠AED的度数；最后利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质，将∠AED转化为与∠F相关的式子，进而求出∠F的度数。
【解析】
1. 在$Rt△ABC$中，
∵$AC⊥BC$，
∴$∠ACB=90°$，根据直角三角形两锐角互余，得$∠A=90°−∠B=90°−40°=50°$。
2.
∵$DE⊥AB$，
∴$∠ADE=90°$，在$Rt△ADE$中，根据直角三角形两锐角互余，得$∠AED=90°−∠A=90°−50°=40°$。
3.
∵$EF=DE$，
∴$△DEF$是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角，得$∠F=∠EDF$。
4. 又
∵$∠AED$是$△DEF$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，得$∠AED=∠F+∠EDF=2∠F$。
5. 代入$∠AED=40°$，得$2∠F=40°$，解得$∠F=20°$。
【答案】
20°
【知识点】
直角三角形性质、等腰三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题是基础几何角度计算题，主要考查直角三角形、等腰三角形的角度性质，结合三角形外角性质即可求解，思路清晰，需熟练掌握相关几何性质。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先利用直角三角形两锐角互余求出∠A的度数；再根据DE⊥AB，结合直角三角形两锐角互余求出∠AED的度数；最后利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质，将∠AED转化为与∠F相关的式子，进而求出∠F的度数。
【解析】
1. 在$Rt△ABC$中，
∵$AC⊥BC$，
∴$∠ACB=90°$，根据直角三角形两锐角互余，得$∠A=90°−∠B=90°−40°=50°$。
2.
∵$DE⊥AB$，
∴$∠ADE=90°$，在$Rt△ADE$中，根据直角三角形两锐角互余，得$∠AED=90°−∠A=90°−50°=40°$。
3.
∵$EF=DE$，
∴$△DEF$是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角，得$∠F=∠EDF$。
4. 又
∵$∠AED$是$△DEF$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，得$∠AED=∠F+∠EDF=2∠F$。
5. 代入$∠AED=40°$，得$2∠F=40°$，解得$∠F=20°$。
【答案】
20°
【知识点】
直角三角形性质、等腰三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题是基础几何角度计算题，主要考查直角三角形、等腰三角形的角度性质，结合三角形外角性质即可求解，思路清晰，需熟练掌握相关几何性质。
【难度系数】
0.6
10 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120°$,$AD ⊥ BC$,垂足为$G$,且$AD=AB$,连接$BD$,$∠ EDF=60°$,其两边分别交边$AB$,$AC$于点$E$,$F$.求证:
(1)$△ ABD$是等边三角形;
(2)$BE=AF$.
(1)$△ ABD$是等边三角形;
(2)$BE=AF$.
答案
10. (1) $\because AB=AC,AD⊥ BC,∠ BAC=120°,\therefore ∠ BAD=∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×120°=60°.\because AD=AB,\therefore △ ABD$ 是等边三角形
(2) $\because △ ABD$ 是等边三角形, $\therefore ∠ ABD=∠ ADB=60°,BD=AD.\because ∠ EDF=60°,\therefore ∠ ADB=∠ EDF.\therefore ∠ ADB-∠ ADE=∠ EDF-∠ ADE$, 即$∠ BDE=∠ ADF$.
在$△ BDE$ 和$△ ADF$ 中, $\begin{cases} ∠ DBE=∠ DAF, \\ BD=AD, \\ ∠ BDE=∠ ADF, \end{cases}$ $\therefore △ BDE≌ △ ADF.\therefore BE=AF$
(2) $\because △ ABD$ 是等边三角形, $\therefore ∠ ABD=∠ ADB=60°,BD=AD.\because ∠ EDF=60°,\therefore ∠ ADB=∠ EDF.\therefore ∠ ADB-∠ ADE=∠ EDF-∠ ADE$, 即$∠ BDE=∠ ADF$.
在$△ BDE$ 和$△ ADF$ 中, $\begin{cases} ∠ DBE=∠ DAF, \\ BD=AD, \\ ∠ BDE=∠ ADF, \end{cases}$ $\therefore △ BDE≌ △ ADF.\therefore BE=AF$
解析
【分析】
要证明△ABD是等边三角形，已知AB=AD，结合AB=AC且AD⊥BC，利用等腰三角形三线合一的性质，可求出∠BAD=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”即可得证；要证明BE=AF，需证明△BDE与△ADF全等，由等边三角形性质可得BD=AD、∠ABD=∠ADB=60°，结合∠EDF=60°可推导出∠BDE=∠ADF，再结合∠DBE=∠DAF=60°，利用ASA判定全等，进而得到BE=AF。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=120°，
∴ 根据等腰三角形三线合一，AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×120° = 60°，
又
∵ AD=AB，
∴ △ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
(2) 证明：
∵ △ABD是等边三角形，
∴ ∠ABD = ∠ADB = 60°，BD=AD，
∵ ∠EDF=60°，
∴ ∠ADB = ∠EDF，
∴ ∠ADB - ∠ADE = ∠EDF - ∠ADE，即∠BDE = ∠ADF，
又
∵ AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=120°，
∴ ∠DAF = ∠BAD = 60°，即∠DBE = ∠DAF = 60°，
在△BDE和△ADF中：
$\{\begin{array}{l}∠DBE = ∠DAF \\BD = AD \\∠BDE = ∠ADF\end{array} $
∴ △BDE ≌ △ADF（ASA），
∴ BE=AF（全等三角形对应边相等）。
【答案】
(1) △ABD是等边三角形；(2) BE=AF，证明过程如上。
【知识点】
等腰三角形性质、等边三角形判定、全等三角形判定
【点评】
本题综合考查等腰三角形三线合一性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定，解题关键是利用等腰三角形性质推导角度，通过角度等量关系证明三角形全等，属于几何证明的基础题型，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6
要证明△ABD是等边三角形，已知AB=AD，结合AB=AC且AD⊥BC，利用等腰三角形三线合一的性质，可求出∠BAD=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”即可得证；要证明BE=AF，需证明△BDE与△ADF全等，由等边三角形性质可得BD=AD、∠ABD=∠ADB=60°，结合∠EDF=60°可推导出∠BDE=∠ADF，再结合∠DBE=∠DAF=60°，利用ASA判定全等，进而得到BE=AF。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=120°，
∴ 根据等腰三角形三线合一，AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×120° = 60°，
又
∵ AD=AB，
∴ △ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
(2) 证明：
∵ △ABD是等边三角形，
∴ ∠ABD = ∠ADB = 60°，BD=AD，
∵ ∠EDF=60°，
∴ ∠ADB = ∠EDF，
∴ ∠ADB - ∠ADE = ∠EDF - ∠ADE，即∠BDE = ∠ADF，
又
∵ AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=120°，
∴ ∠DAF = ∠BAD = 60°，即∠DBE = ∠DAF = 60°，
在△BDE和△ADF中：
$\{\begin{array}{l}∠DBE = ∠DAF \\BD = AD \\∠BDE = ∠ADF\end{array} $
∴ △BDE ≌ △ADF（ASA），
∴ BE=AF（全等三角形对应边相等）。
【答案】
(1) △ABD是等边三角形；(2) BE=AF，证明过程如上。
【知识点】
等腰三角形性质、等边三角形判定、全等三角形判定
【点评】
本题综合考查等腰三角形三线合一性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定，解题关键是利用等腰三角形性质推导角度，通过角度等量关系证明三角形全等，属于几何证明的基础题型，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6
