三、解答题
7. 在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$ 所对的边长分别为 $a$，$b$，$c$.
(1) 若 $AC = 7$，$BC = 24$，求 $AB$；
(2) 若 $AC = BC = 10$，求 $AB$；
(3) 若 $a = 24$，$b = 10$，求 $c$.

7. (1) 25 (2) $10\sqrt{2}$ (3) 26

(1) 在$Rt△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$AC=7$，$BC=24$，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{7^{2}+24^{2}}=\sqrt{49 + 576}=\sqrt{625}=25$
(2) 在$Rt△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$AC=BC=10$，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{10^{2}+10^{2}}=\sqrt{100 + 100}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$
(3) 在$Rt△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$a=24$，$b=10$，根据勾股定理$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{24^{2}+10^{2}}=\sqrt{576 + 100}=\sqrt{676}=26$

8. 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形.现有如图所示的“垂美”四边形 $ABCD$，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，$AD = 2$，$BC = 4$，求 $AB^{2}+CD^{2}$ 的值.

8. 20 提示：$AB^{2}+CD^{2}=AO^{2}+BO^{2}+CO^{2}+DO^{2}=AD^{2}+BC^{2}$

证明：因为四边形$ABCD$是“垂美”四边形，所以$AC ⊥ BD$，即$∠ AOB = ∠ BOC = ∠ COD = ∠ DOA = 90°$。
在$Rt△ AOB$中，$AB^2 = AO^2 + BO^2$；
在$Rt△ COD$中，$CD^2 = CO^2 + DO^2$；
所以$AB^2 + CD^2 = AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2$。
在$Rt△ AOD$中，$AD^2 = AO^2 + DO^2$；
在$Rt△ BOC$中，$BC^2 = BO^2 + CO^2$；
所以$AD^2 + BC^2 = AO^2 + DO^2 + BO^2 + CO^2$。
因此$AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2$。
已知$AD = 2$，$BC = 4$，则$AB^2 + CD^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$。
20

9. 如图所示，折叠长方形的一边 $AD$，使点 $D$ 落在边 $BC$ 上的点 $F$ 处，已知 $AB = 8cm$，$BC = 10cm$，求 $EC$ 的长.

9. $3\mathrm{cm}$ 提示：$AF=AD=BC=10\mathrm{cm}$，$BF=\sqrt{AF^{2}-AB^{2}}=6\mathrm{cm}$，$CF=4\mathrm{cm}$，由$EF^{2}=EC^{2}+CF^{2}$和$EF=DC-EC$，得$EC=3\mathrm{cm}$

解：
∵四边形$ABCD$是长方形，
$\therefore AD=BC=10\mathrm{cm}$，$AB=CD=8\mathrm{cm}$，$∠ B=∠ C=90^{\circ}$。
由折叠性质得：$AF=AD=10\mathrm{cm}$，$EF=DE$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$BF=\sqrt{AF^{2}-AB^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6\mathrm{cm}$，
$\therefore CF=BC-BF=10 - 6=4\mathrm{cm}$。
设$EC=x\mathrm{cm}$，则$DE=EF=(8 - x)\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ECF$中，$EF^{2}=EC^{2}+CF^{2}$，
即$(8 - x)^{2}=x^{2}+4^{2}$，
解得$x=3$。
$\therefore EC=3\mathrm{cm}$。