23. 为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为$5m$的视力表，但两面墙的距离只有$3m$. 在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲同学设计了一个方案.

已知视力表的全长$AB = 0.8m$，要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，求镜面长$MN$至少为多少米？

23. 过$ C $作$ CD ⊥ MN $于点$ D $，延长交$ A ^ { \prime } B ^ { \prime } $于点$ E $，则$ AB // MN // A ^ { \prime } B ^ { \prime } $，$ \therefore CE ⊥ A ^ { \prime } B ^ { \prime } $，$ ∠ MNC = ∠ A ^ { \prime } B ^ { \prime } C $，$ ∠ NMC = ∠ B ^ { \prime } A ^ { \prime } C $，$ \therefore △ MNC ∽ △ A ^ { \prime } B ^ { \prime } C $，$ \therefore \dfrac { M N } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \dfrac { C D } { C E } $。$ \because CE = 5 \mathrm { m } $，$ DE = 3 \mathrm { m } $，$ A ^ { \prime } B ^ { \prime } = A B = 0.8 \mathrm { m } $，$ \therefore CD = CE - DE = 2 \mathrm { m } $，$ \therefore \dfrac { M N } { 0.8 } = \dfrac { 2 } { 5 } $，$ \therefore MN = 0.32 $，答：镜面长$ MN $至少为$ 0.32 $米。

24. 如图，在正方形$ABCD$中，$E$是$AB$上一点，连接$DE$. 过点$A$作$AF⊥ DE$，垂足为点$F$，$\odot O$经过点$C$，$D$，$F$，与$AD$相交于点$G$.
（1）求证：$△ AFG∽△ DFC$；
（2）若正方形$ABCD$的边长为$4$，$AE = 1$，求$\odot O$的半径.

24. (1) 在正方形$ ABCD $中，$ ∠ ADC = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ CDF + ∠ ADF = 90 ^ { \circ } $，$ \because AF ⊥ DE $，$ \therefore ∠ AFD = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ DAF + ∠ ADF = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ DAF = ∠ CDF $，$ \because $四边形$ GFCD $是$ \odot O $的内接四边形，$ \therefore ∠ FCD + ∠ DGF = 180 ^ { \circ } $，$ \because ∠ FGA + ∠ DGF = 180 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ FGA = ∠ FCD $，$ \therefore △ A F G ∽ △ D F C $。(2) 如图，连接$ CG $。$ \because ∠ E A D = ∠ A F D = 90 ^ { \circ } $，$ ∠ E D A = ∠ A D F $，$ \therefore △ E D A ∽ △ A D F $，$ \therefore \dfrac { E A } { A F } = \dfrac { D A } { D F } $，即$ \dfrac { E A } { D A } = \dfrac { A F } { D F } $，$ \because △ A F G ∽ △ D F C $，$ \therefore \dfrac { A G } { D C } = \dfrac { A F } { D F } $，$ \therefore \dfrac { A G } { D C } = \dfrac { E A } { D A } $，在正方形$ ABCD $中，$ D A = D C $，$ \therefore A G = E A = 1 $，$ D G = D A - A G = 4 - 1 = 3 $，$ \therefore C G = \sqrt { D G ^ { 2 } + D C ^ { 2 } } = 5 $，$ \because ∠ C D G = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore CG $是$ \odot O $的直径，$ \therefore \odot O $的半径为$ \dfrac { 5 } { 2 } $。