李师傅要做一个长、宽、高都是整厘米数的长方体木箱,它的一个底面的面积是$ 12\ \mathrm{cm}^2 $,一个侧面的面积是$ 4\ \mathrm{cm}^2 $。这个长方体的体积有几种可能性? 请你分别求出来。

3种，分别是12 cm³、24 cm³、48 cm³

设长方体长、宽、高分别为a、b、h（均为正整数）。由底面面积a×b=12，12的因数对为(1,12)、(2,6)、(3,4)、(4,3)、(6,2)、(12,1)。侧面面积为4，分两种情况：
1. 若a×h=4，则h=4/a，a需为4的因数（1,2,4）：
(a,b)=(1,12)时，h=4，体积=1×12×4=48；
(a,b)=(2,6)时，h=2，体积=2×6×2=24；
(a,b)=(4,3)时，h=1，体积=4×3×1=12。
2. 若b×h=4，则h=4/b，b需为4的因数（1,2,4），此时得到的体积与上述情况重复（12,24,48）。
综上，体积有3种可能性，分别为12 cm³、24 cm³、48 cm³。