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1. 下列各图中，$∠ 1$ 与 $∠ 2$ 是对顶角的是(
C
).答案
1. C
解析
【解析】
根据对顶角的定义（有公共顶点，且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线的两个角是对顶角），逐一分析选项：
A. ∠1与∠2无公共顶点，不符合对顶角定义；
B. ∠2的两边不是∠1两边的反向延长线，不符合对顶角定义；
C. ∠1与∠2有公共顶点，且两边互为反向延长线，符合对顶角定义；
D. ∠1与∠2的两边不互为反向延长线，不符合对顶角定义。
因此∠1与∠2是对顶角的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
对顶角的定义
【点评】
本题考查对顶角的判定，牢记对顶角的两个核心判定条件是解题的关键。
根据对顶角的定义（有公共顶点，且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线的两个角是对顶角），逐一分析选项：
A. ∠1与∠2无公共顶点，不符合对顶角定义；
B. ∠2的两边不是∠1两边的反向延长线，不符合对顶角定义；
C. ∠1与∠2有公共顶点，且两边互为反向延长线，符合对顶角定义；
D. ∠1与∠2的两边不互为反向延长线，不符合对顶角定义。
因此∠1与∠2是对顶角的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
对顶角的定义
【点评】
本题考查对顶角的判定，牢记对顶角的两个核心判定条件是解题的关键。
2. 下列各图中，$∠ 1$ 与 $∠ 2$ 互为邻补角的是(
D
).答案
2. D
解析
【解析】
根据邻补角的定义，邻补角需满足：有一条公共边，另一边互为反向延长线，且两角和为180°。逐一分析选项：
A选项：∠1与∠2无公共边，不符合；
B选项：∠1与∠2是对顶角，不符合；
C选项：∠1与∠2的和不为180°，不符合；
D选项：∠1与∠2有公共边，另一边互为反向延长线，且和为180°，符合邻补角定义。
【答案】
D
【知识点】
邻补角的定义
【点评】
本题考查邻补角的定义，熟练掌握邻补角的判定特征是解题关键。
根据邻补角的定义，邻补角需满足：有一条公共边，另一边互为反向延长线，且两角和为180°。逐一分析选项：
A选项：∠1与∠2无公共边，不符合；
B选项：∠1与∠2是对顶角，不符合；
C选项：∠1与∠2的和不为180°，不符合；
D选项：∠1与∠2有公共边，另一边互为反向延长线，且和为180°，符合邻补角定义。
【答案】
D
【知识点】
邻补角的定义
【点评】
本题考查邻补角的定义，熟练掌握邻补角的判定特征是解题关键。
3. 下列说法中，正确的是(
A.相等的两个角是对顶角
B.互补的两个角是邻补角
C.有公共顶点且相等的两个角是对顶角
D.不相等的两个角一定不是对顶角
D
).A.相等的两个角是对顶角
B.互补的两个角是邻补角
C.有公共顶点且相等的两个角是对顶角
D.不相等的两个角一定不是对顶角
答案
3. D
解析
【解析】
对顶角的定义为：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且两角有公共顶点，则这两个角是对顶角，对顶角一定相等。
选项A：相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但不是对顶角，故A错误；
选项B：互补的角不一定是邻补角，邻补角需满足互补且有公共边、另一边互为反向延长线，如两个直角互补但不一定是邻补角，故B错误；
选项C：有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，如角平分线分成的两个角，有公共顶点且相等，但不是对顶角，故C错误；
选项D：由于对顶角一定相等，所以不相等的两个角一定不是对顶角，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
对顶角的定义，邻补角的定义
【点评】
本题考查对顶角和邻补角的定义与性质，解题关键是准确区分对顶角和邻补角的概念，避免混淆。
对顶角的定义为：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且两角有公共顶点，则这两个角是对顶角，对顶角一定相等。
选项A：相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但不是对顶角，故A错误；
选项B：互补的角不一定是邻补角，邻补角需满足互补且有公共边、另一边互为反向延长线，如两个直角互补但不一定是邻补角，故B错误；
选项C：有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，如角平分线分成的两个角，有公共顶点且相等，但不是对顶角，故C错误；
选项D：由于对顶角一定相等，所以不相等的两个角一定不是对顶角，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
对顶角的定义，邻补角的定义
【点评】
本题考查对顶角和邻补角的定义与性质，解题关键是准确区分对顶角和邻补角的概念，避免混淆。
4. 如图，直线 $AB$，$CD$ 相交于点 $O$，射线 $OM$ 平分 $∠ AOC$，$∠ BOD = 76^{\circ}$，则 $∠ BOM$ 的度数是(
A.$38^{\circ}$
B.$104^{\circ}$
C.$142^{\circ}$
D.$144^{\circ}$
C
).A.$38^{\circ}$
B.$104^{\circ}$
C.$142^{\circ}$
D.$144^{\circ}$
答案
4. C
解析
【解析】
1. 根据对顶角相等，可得$∠AOC = ∠BOD = 76^{\circ}$；
2. 因为射线$OM$平分$∠AOC$，所以$∠AOM = \frac{1}{2}∠AOC = \frac{1}{2}×76^{\circ}=38^{\circ}$；
3. 由邻补角的定义，$∠BOM = 180^{\circ} - ∠AOM = 180^{\circ}-38^{\circ}=142^{\circ}$。
【答案】
C
【知识点】
对顶角相等；角平分线的定义；邻补角的定义
【点评】
本题考查角度的计算，关键是熟练掌握对顶角、邻补角的性质及角平分线的定义，准确理清各角之间的数量关系。
1. 根据对顶角相等，可得$∠AOC = ∠BOD = 76^{\circ}$；
2. 因为射线$OM$平分$∠AOC$，所以$∠AOM = \frac{1}{2}∠AOC = \frac{1}{2}×76^{\circ}=38^{\circ}$；
3. 由邻补角的定义，$∠BOM = 180^{\circ} - ∠AOM = 180^{\circ}-38^{\circ}=142^{\circ}$。
【答案】
C
【知识点】
对顶角相等；角平分线的定义；邻补角的定义
【点评】
本题考查角度的计算，关键是熟练掌握对顶角、邻补角的性质及角平分线的定义，准确理清各角之间的数量关系。
5. 如图，当剪刀口 $∠ AOB$ 增大 $15^{\circ}$ 时，$∠ COD$ 增大
15°
.答案
5. 15°
解析
【解析】
因为∠AOB与∠COD是对顶角，根据对顶角相等的性质，当∠AOB增大15°时，∠COD也会随之增大15°。
【答案】
15°
【知识点】
对顶角的性质
【点评】
本题主要考查对顶角性质的实际应用，明确对顶角相等的性质是解题的核心关键。
因为∠AOB与∠COD是对顶角，根据对顶角相等的性质，当∠AOB增大15°时，∠COD也会随之增大15°。
【答案】
15°
【知识点】
对顶角的性质
【点评】
本题主要考查对顶角性质的实际应用，明确对顶角相等的性质是解题的核心关键。
6. 如图，$AB$ 是一条直线，$OC$ 是 $∠ AOD$ 的平分线，$OE$ 在 $∠ BOD$ 内，$∠ DOE = \frac{1}{3}∠ BOD$，$∠ COE = 72^{\circ}$，则 $∠ EOB =$
72°
.答案
6. 72°
解析
【解析】
设∠AOD = 2x，
因为OC是∠AOD的平分线，所以∠COD = x。
由于AB是直线，故∠BOD = 180° - 2x，
又因为∠DOE = $\frac{1}{3}$∠BOD，所以∠DOE = $\frac{180° - 2x}{3}$。
已知∠COE = ∠COD + ∠DOE = 72°，代入得：
$x + \frac{180° - 2x}{3} = 72°$，
解方程：3x + 180° - 2x = 216°，
解得x = 36°。
则∠BOD = 180° - 2×36° = 108°，
∠EOB = ∠BOD - ∠DOE = ∠BOD - $\frac{1}{3}$∠BOD = $\frac{2}{3}$∠BOD = $\frac{2}{3}$×108° = 72°。
【答案】
72°
【知识点】
角平分线定义；平角定义；一元一次方程的几何应用
【点评】
本题通过设未知数建立方程求解，将几何问题转化为代数问题，关键是利用角平分线性质和平角定义，准确梳理各角之间的数量关系，体现了方程思想在几何计算中的便捷性。
设∠AOD = 2x，
因为OC是∠AOD的平分线，所以∠COD = x。
由于AB是直线，故∠BOD = 180° - 2x，
又因为∠DOE = $\frac{1}{3}$∠BOD，所以∠DOE = $\frac{180° - 2x}{3}$。
已知∠COE = ∠COD + ∠DOE = 72°，代入得：
$x + \frac{180° - 2x}{3} = 72°$，
解方程：3x + 180° - 2x = 216°，
解得x = 36°。
则∠BOD = 180° - 2×36° = 108°，
∠EOB = ∠BOD - ∠DOE = ∠BOD - $\frac{1}{3}$∠BOD = $\frac{2}{3}$∠BOD = $\frac{2}{3}$×108° = 72°。
【答案】
72°
【知识点】
角平分线定义；平角定义；一元一次方程的几何应用
【点评】
本题通过设未知数建立方程求解，将几何问题转化为代数问题，关键是利用角平分线性质和平角定义，准确梳理各角之间的数量关系，体现了方程思想在几何计算中的便捷性。
7. 如图，直线 $AB$，$CD$，$EF$ 相交于点 $O$，若 $∠ DOF = 30^{\circ}$，$∠ AOE = 20^{\circ}$，则 $∠ BOC =$
130°
.答案
7. 130°
解析
【解析】
因为直线$AB$，$EF$相交于点$O$，根据对顶角相等，可得$∠BOF = ∠AOE = 20^{\circ}$。
已知$∠DOF = 30^{\circ}$，所以$∠BOD = ∠BOF + ∠DOF = 20^{\circ} + 30^{\circ} = 50^{\circ}$。
又因为$∠BOC$与$∠BOD$互为邻补角，即$∠BOC + ∠BOD = 180^{\circ}$，所以$∠BOC = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$。
【答案】
$\boldsymbol{130^{\circ}}$
【知识点】
对顶角相等、邻补角互补、角的和差运算
【点评】
本题考查相交线中角的计算，解题关键是准确识别对顶角、邻补角的关系，利用角的和差与互补性质进行求解，理清各角之间的数量关系是解题核心。
因为直线$AB$，$EF$相交于点$O$，根据对顶角相等，可得$∠BOF = ∠AOE = 20^{\circ}$。
已知$∠DOF = 30^{\circ}$，所以$∠BOD = ∠BOF + ∠DOF = 20^{\circ} + 30^{\circ} = 50^{\circ}$。
又因为$∠BOC$与$∠BOD$互为邻补角，即$∠BOC + ∠BOD = 180^{\circ}$，所以$∠BOC = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$。
【答案】
$\boldsymbol{130^{\circ}}$
【知识点】
对顶角相等、邻补角互补、角的和差运算
【点评】
本题考查相交线中角的计算，解题关键是准确识别对顶角、邻补角的关系，利用角的和差与互补性质进行求解，理清各角之间的数量关系是解题核心。
8. 在一个平面内任意画三条直线，最多可以把平面分成
7
个部分.答案
8. 7
解析
【解析】
当三条直线两两相交且交点不重合时，分平面的部分最多：
1. 第一条直线将平面分成2个部分；
2. 第二条直线与第一条直线相交，平面被分成4个部分；
3. 第三条直线与前两条直线都相交（交点不重合），会新增3个部分，此时平面被分成4+3=7个部分。
【答案】
7
【知识点】
直线分平面区域
【点评】
本题考查直线划分平面的规律，要使划分的区域最多，需每条新增直线与已有的所有直线相交且交点不重合。
当三条直线两两相交且交点不重合时，分平面的部分最多：
1. 第一条直线将平面分成2个部分；
2. 第二条直线与第一条直线相交，平面被分成4个部分；
3. 第三条直线与前两条直线都相交（交点不重合），会新增3个部分，此时平面被分成4+3=7个部分。
【答案】
7
【知识点】
直线分平面区域
【点评】
本题考查直线划分平面的规律，要使划分的区域最多，需每条新增直线与已有的所有直线相交且交点不重合。
9. 两条直线相交所形成的 $4$ 个角中，有 $2$ 个角分别是 $(2α - 10)^{\circ}$ 和 $(110 - α)^{\circ}$，则 $α =$
80°或40°
.答案
9. 80°或40°
解析
【解析】
两条直线相交，形成的两个角要么是对顶角（相等），要么是邻补角（和为180°），分两种情况求解：
1. 当两个角为对顶角时：
2α - 10 = 110 - α
移项合并得：3α = 120
解得：α = 40
2. 当两个角为邻补角时：
(2α - 10) + (110 - α) = 180
去括号合并得：α + 100 = 180
解得：α = 80
综上，α = 80°或40°。
【答案】
80°或40°
【知识点】
对顶角相等，邻补角互补
【点评】
本题需结合对顶角和邻补角的性质分情况讨论，注意考虑全面，避免漏解。
两条直线相交，形成的两个角要么是对顶角（相等），要么是邻补角（和为180°），分两种情况求解：
1. 当两个角为对顶角时：
2α - 10 = 110 - α
移项合并得：3α = 120
解得：α = 40
2. 当两个角为邻补角时：
(2α - 10) + (110 - α) = 180
去括号合并得：α + 100 = 180
解得：α = 80
综上，α = 80°或40°。
【答案】
80°或40°
【知识点】
对顶角相等，邻补角互补
【点评】
本题需结合对顶角和邻补角的性质分情况讨论，注意考虑全面，避免漏解。
