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5.如图，$OP$平分$\angle MON$,$PA \perp ON$于点$A$,点$Q$是射线$OM$上的一个动点.若$PA = 2$，则$PQ$的最小值为(
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
B
).A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案
B
解析
由于 $OP$ 平分 $\angle MON$，且 $PA \perp ON$ 于点 $A$，$PA = 2$。
根据角平分线的性质，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以点 $P$ 到 $OM$ 的距离等于 $PA$ 的长度，即 $2$。
当 $QP \perp OM$ 时，由垂线段最短可知，此时 $PQ$ 长度最小。
因此 $PQ$ 的最小值为 $2$。
根据角平分线的性质，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以点 $P$ 到 $OM$ 的距离等于 $PA$ 的长度，即 $2$。
当 $QP \perp OM$ 时，由垂线段最短可知，此时 $PQ$ 长度最小。
因此 $PQ$ 的最小值为 $2$。
6.若点$C$在$\angle AOB$内部，$CD \perp OA$于点$D$,$CE \perp OB$于点$E$,且$CD = CE$,$\angle AOB = 60°$,则$\angle DCO =$
60°
.答案
60°
解析
因为$CD \perp OA$，$CE \perp OB$，且$CD = CE$，所以$OC$平分$\angle AOB$（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。因为$\angle AOB = 60°$，所以$\angle COD = \frac{1}{2}\angle AOB = 30°$。在$Rt\triangle COD$中，$\angle CDO = 90°$，所以$\angle DCO = 90° - \angle COD = 90° - 30° = 60°$。
7.如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$,$\angle CAB = 50°$.按以下步骤作图：①以点$A$为圆心、小于$AC$的长为半径画弧，分别交$AB$,$AC$于点$E$,$F$;②分别以点$E$,$F$为圆心，以大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧，两弧相交于点$G$;③作射线$AG$，交$BC$边于点$D$.可知$\angle ADC$的度数为
65°
.答案
65°
解析
在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle CAB=50^{\circ}$。由作图步骤可知，AG是$\angle CAB$的平分线，所以$\angle CAD = \frac{1}{2}\angle CAB = 25^{\circ}$。在$\triangle ADC$中，$\angle ADC = 180^{\circ}-\angle C-\angle CAD = 180^{\circ}-90^{\circ}-25^{\circ}=65^{\circ}$。
8.如图，在$Rt \triangle ABC$中，$\angle C = 90°$,$AC = 4$,$BC = 3$,$AB = 5$,$AD$平分$\angle BAC$，则$S_{\triangle ACD} : S_{\triangle ABD} =$
4:5
.答案
4:5
解析
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，
∴DE=DC（角平分线的性质），
设DC=DE=x，则BD=BC-DC=3-x，
在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD，DC=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=4，
∵AB=5，∴BE=AB-AE=1，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE²+BE²=BD²，
即x²+1²=(3-x)²，解得x=4/3，
∴DC=4/3，BD=3-4/3=5/3，
∵S△ACD=1/2×AC×DC，S△ABD=1/2×AB×DE，AC=4，AB=5，DC=DE，
∴S△ACD:S△ABD=AC:AB=4:5。
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，
∴DE=DC（角平分线的性质），
设DC=DE=x，则BD=BC-DC=3-x，
在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD，DC=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=4，
∵AB=5，∴BE=AB-AE=1，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE²+BE²=BD²，
即x²+1²=(3-x)²，解得x=4/3，
∴DC=4/3，BD=3-4/3=5/3，
∵S△ACD=1/2×AC×DC，S△ABD=1/2×AB×DE，AC=4，AB=5，DC=DE，
∴S△ACD:S△ABD=AC:AB=4:5。
9.如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$,$AC = 8$,$AD = 3DC$,$BD$平分$\angle ABC$，则点$D$到$AB$的距离是
2
.答案
2
解析
∵AC=8，AD=3DC，∴AD+DC=4DC=8，解得DC=2。
∵∠C=90°，∴AC⊥BC，点D到BC的距离为DC=2。
∵BD平分∠ABC，根据角平分线性质，点D到AB的距离等于点D到BC的距离，即点D到AB的距离为2。
∵∠C=90°，∴AC⊥BC，点D到BC的距离为DC=2。
∵BD平分∠ABC，根据角平分线性质，点D到AB的距离等于点D到BC的距离，即点D到AB的距离为2。
10.如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$,$AC = BC$,$AD$平分$\angle BAC$，交$BC$于点$D$,$DE \perp AB$于点$E$.若$\triangle BDE$的周长是$5\ cm$，则$AB$的长为
5
.答案
5
解析
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DC=DE（角平分线性质）。
在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD，DC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE。
∵△ABC中∠C=90°，AC=BC，∴AE=BC。
∵AB=AE+EB，AE=BC，∴AB=BC+EB。
又∵BC=BD+DC，DC=DE，∴BC=BD+DE，∴AB=BD+DE+EB。
∵△BDE周长为BD+DE+BE=5cm，∴AB=5cm。
在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD，DC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE。
∵△ABC中∠C=90°，AC=BC，∴AE=BC。
∵AB=AE+EB，AE=BC，∴AB=BC+EB。
又∵BC=BD+DC，DC=DE，∴BC=BD+DE，∴AB=BD+DE+EB。
∵△BDE周长为BD+DE+BE=5cm，∴AB=5cm。
