1.下列函数中,属于二次函数的是().

A.$y = 3x - 1$
B.$y = ax^{2} + bx + c$
C.$s = 2t^{2} - 2t + 1$
D.$y = x^{2} + \frac{1}{x}$

C

二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$是常数，$a\neq0$）。
A选项$y = 3x - 1$是一次函数，不符合；
B选项$y = ax^{2} + bx + c$，未明确$a\neq0$，当$a=0$时不是二次函数，不符合；
C选项$s = 2t^{2} - 2t + 1$，符合二次函数定义，其中$a=2\neq0$，是二次函数；
D选项$y = x^{2} + \frac{1}{x}$，含有分式$\frac{1}{x}$，不是整式函数，不符合。

2.将抛物线$y = x^{2} - 6x + 5$的图象向上平移$2$个单位长度,再向右平移$1$个单位长度,得到的抛物线的解析式是().

A.$y = ( x - 4 )^{2} - 6$
B.$y = ( x - 1 )^{2} - 3$
C.$y = ( x - 2 )^{2} - 2$
D.$y = ( x - 4 )^{2} - 2$

D

首先，将原抛物线$y = x^{2} - 6x + 5$化为顶点式，
$y = x^{2} - 6x + 5 = (x - 3)^{2} - 4$，
根据平移规律，向上平移2个单位长度，即$y$值增加2，得到新的函数为：
$y = (x - 3)^{2} - 4 + 2 = (x - 3)^{2} - 2$，
再将上述抛物线向右平移1个单位长度，即$x$值减少1（因为向右平移，$x$的变化是减），得到：
$y = (x - 3 - 1)^{2} - 2 = (x - 4)^{2} - 2$。

3.关于二次函数$y = 2x^{2} + 4x - 1$,下列说法正确的是().

A.图象与$y$轴的交点坐标为$(0,1)$
B.图象的对称轴在$y$轴的右侧
C.当$x ＜ 0$时,$y$的值随$x$值的增大而减小
D.$y$的最小值为$- 3$

D

对于二次函数$y = 2x^{2} + 4x - 1$，
A. 令$x=0$，则$y=-1$，所以图象与$y$轴的交点坐标为$(0, -1)$，与选项A的$(0,1)$不符，所以A选项错误；
B. 二次函数的对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 × 2} = -1$，这是一条在$y$轴左侧的直线，所以B选项错误；
C. 由于二次函数的开口方向向上（因为$a=2＞0$），所以在对称轴左侧，函数是单调递减的，但在对称轴右侧是单调递增的。因此，当$x ＜ -1$时，$y$的值随$x$的增大而减小，当$-1＜x＜0$时，$y$的值随$x$的增大而增大，所以C选项的描述不完全正确，C选项错误；
D. 二次函数的最值发生在对称轴上，即$x=-1$处，将$x=-1$代入原函数得$y=2(-1)^{2} + 4(-1) - 1 = -3$，这是函数的最小值，所以D选项正确。

4.当$ab ＞ 0$时,$y = ax^{2}$与$y = ax + b$的图象大致是().

D

因为$ab ＞ 0$，所以$a$与$b$同号。
对于二次函数$y = ax^2$：当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上；当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下。
对于一次函数$y = ax + b$：斜率为$a$，截距为$b$。若$a ＞ 0$，直线上升；若$a ＜ 0$，直线下降。若$b ＞ 0$，直线与$y$轴交于正半轴；若$b ＜ 0$，交于负半轴。
当$a ＞ 0$、$b ＞ 0$时，抛物线开口向上，直线上升且交$y$轴正半轴；当$a ＜ 0$、$b ＜ 0$时，抛物线开口向下，直线下降且交$y$轴负半轴。选项D符合$a ＜ 0$、$b ＜ 0$的情况（抛物线开口向下，直线下降，交$y$轴负半轴），满足$ab ＞ 0$。

5.已知二次函数$y = ax^{2} + bx + c$的图象如图所示,$OA = OC$,有下列关于$a$,$b$,$c$的等式或不等式：
①$\frac{4ac - b^{2}}{4a} = - 1$;②$ac + b + 1 = 0$;③$abc ＞ 0$;④$a - b + c ＞ 0$.其中,正确的有().


A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

C

由图像可知抛物线开口向上，$a ＞ 0$；与$y$轴交于负半轴，$c ＜ 0$；顶点纵坐标为$-1$。
① 顶点纵坐标公式为$\frac{4ac - b^2}{4a}$，图像中顶点纵坐标为$-1$，故①正确。
② 设$A(x_1, 0)$，$OA = OC$，$OC = |c| = -c$，则$x_1 = -OA = c$（$A$在负半轴）。将$A(c, 0)$代入函数：$ac^2 + bc + c = 0$，$c \neq 0$，得$ac + b + 1 = 0$，故②正确。
③ $a ＞ 0$，$c ＜ 0$，若$c = -1$，由②得$b = 0$，则$abc = 0$，故③错误。
④ $a - b + c$为$x = -1$时的函数值，抛物线$y = x^2 -1$中$x = -1$时$y = 0$，故④错误。
正确的有①②，共2个。

6.若函数$y = ( m - 6 )x^{2} + 2x + 3$是关于$x$的二次函数,则$m$的取值范围为.

$m\neq6$

二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），在函数$y=(m - 6)x^2 + 2x + 3$中，二次项系数为$m - 6$，所以$m - 6\neq0$，解得$m\neq6$。

7.已知抛物线$y = x^{2} - ( k + 2 )x + 9$的顶点在$x$轴上,则$k =$.

4或-8

因为抛物线$y = x^{2} - ( k + 2 )x + 9$的顶点在$x$轴上，所以顶点的纵坐标为0。对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点纵坐标为$\frac{4ac - b^2}{4a}$。这里$a=1$，$b=-(k+2)$，$c=9$，则$\frac{4×1×9 - [-(k+2)]^2}{4×1}=0$，即$36 - (k + 2)^2 = 0$，$(k + 2)^2 = 36$，$k + 2 = \pm6$，解得$k=4$或$k=-8$。