12.(7分)如图,在Rt△ABC中,$\angle ABC=90^{\circ}$,$\angle ACB$的平分线CO交AB边于点O,以点O为圆心、OB长为半径作圆.
(1)请判断AC与⊙O的位置关系,并证明你的结论.
(2)若$BO=1$,$\angle BAC=30^{\circ}$,求△AOC的面积.

(1) AC与⊙O相切。
证明：过点O作OD⊥AC于点D。
∵CO平分∠ACB，OB⊥BC，OD⊥AC，
∴OD = OB。
∵OB是⊙O的半径，
∴OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线。
(2) 在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，∠BAC = 30°，
∴$AC = 2BC$。
设BC = x，则$AC = 2x$。
由勾股定理得$AB = \sqrt{AC^{2} - BC^{2}} = \sqrt{(2x)^{2} - x^{2}} = \sqrt{3}x$。
∵OB = 1，
∴$OA = \sqrt{3}x - 1$。
在Rt△AOD中，∠OAD = 30°，
∴$OD = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}(\sqrt{3}x - 1)$。
又
∵OD = OB = 1，
∴$\frac{1}{2}(\sqrt{3}x - 1) = 1$，
解得$x = \sqrt{3}$。
∴$AC = 2x = 2\sqrt{3}$，
$S_{\bigtriangleup AOC} = \frac{1}{2}AC · OD = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} × 1 = \sqrt{3}$。
综上，△AOC的面积为$\sqrt{3}$。

(1) AC与⊙O相切。
证明：过点O作OD⊥AC于点D。
∵∠ABC=90°，∴OB⊥BC。
∵CO平分∠ACB，OD⊥AC，OB⊥BC，
∴OD=OB（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵⊙O半径为OB，∴OD=半径，且OD⊥AC，
∴AC与⊙O相切。
(2) ∵∠BAC=30°，∠ABC=90°，∴∠ACB=60°。
∵CO平分∠ACB，∴∠BCO=30°。
在Rt△OBC中，∠OBC=90°，∠BCO=30°，BO=1，
tan∠BCO=BO/BC，即tan30°=1/BC，∴BC=1/tan30°=√3。
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=√3，
AB=BC/tan30°=√3/(√3/3)=3。
∵AB=AO+BO，BO=1，∴AO=3-1=2。
△AOC的面积=1/2×AO×BC=1/2×2×√3=√3。

13.(8分)如图,已知AB为⊙O的直径,AD,BD是⊙O的弦,BC是⊙O的切线,切点为B,$OC// AD$,BA,CD的延长线相交于点E.
(1)求证:DC是⊙O的切线.
(2)若$AE=1$,$ED=3$,求⊙O的半径.

(1) 连接OD。
∵OC//AD，∴∠OAD=∠COB，∠ADO=∠DOC。
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠COB=∠DOC。
在△ODC和△OBC中，
OD=OB，∠DOC=∠COB，OC=OC，
∴△ODC≌△OBC(SAS)。
∵BC是⊙O切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=∠OBC=90°。
∵OD是半径，∴DC是⊙O的切线。
(2) 设⊙O半径为r，则OE=OA+AE=r+1，OD=r。
在Rt△ODE中，OD²+ED²=OE²，
即r²+3²=(r+1)²，
解得r=4。
∴⊙O半径为4。