6.在平面直角坐标系中,$\triangle ABO$的$3$个顶点的坐标分别为$A(-2,4),B(-4,0),O(0,0)$.以原点$O$为位似中心,把这个三角形缩小为原来的$\frac{1}{2}$,得到$\triangle CDO$,则点$A$的对应点$C$的坐标是.

(-1,2)或(1,-2)

以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的1/2，点A(-2,4)的对应点C的坐标为(-2×1/2,4×1/2)或(-2×(-1/2),4×(-1/2))，即(-1,2)或(1,-2)。

7.如图$,\triangle ABO$缩小后变为$\triangle A^\prime B^\prime O$,其中$A,B$的对应点分别为$A^\prime,B^\prime$,点$A,B,A^\prime,B^\prime$均在格点上.若线段$AB$上有一点$P(m,n)$,则点$P$在$A^\prime B^\prime$上的对应点$P^\prime$的坐标为.

(m/2,n/2)

由图可知，点O为位似中心，A(4,6)对应A'(2,3)，B(6,2)对应B'(3,1)，位似比为1/2。故点P(m,n)的对应点P'坐标为(m/2,n/2)。

8.如图,在矩形$ABCD$中$,AB = 6,BC = 10$,点$E,F$在$AD$边上$,BF$和$CE$交于点$G.$若$EF = \frac{1}{2}AD$,则图中阴影部分的面积为.

30

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，设A(0,0)，B(6,0)，C(6,10)，D(0,10)。设E(0,t)，F(0,t+5)（EF=5）。
直线BF方程：$y=-\frac{t+5}{6}x+t+5$，直线CE方程：$y=\frac{10-t}{6}x+t$。
联立解得交点G横坐标$x=2$（与t无关），代入得G$(2,\frac{10+2t}{3})$。
$S_{\triangle ABG}=\frac{1}{2}×6×\frac{10+2t}{3}=10+2t$，$S_{\triangle CDG}=\frac{1}{2}×6×(10-\frac{10+2t}{3})=20-2t$。
阴影面积$S=S_{\triangle ABG}+S_{\triangle CDG}=30$。

9.如图,在$□ ABCD$中$,AB = 10,AD = 15,\angle BAD$的平分线交$BC$于点$E$,交$DC$的延长线于点$F,BG\perp AE$于点$G.$若$BG = 8$,则$\triangle CEF$的周长为.

16

在$□ABCD$中，$AD// BC$，$AB// CD$，$AB=CD=10$，$AD=BC=15$。
∵$AE$平分$\angle BAD$，∴$\angle BAE=\angle DAE$。
∵$AD// BC$，∴$\angle DAE=\angle AEB$（内错角相等），∴$\angle BAE=\angle AEB$，故$\triangle ABE$为等腰三角形，$AB=BE=10$。
∴$CE=BC-BE=15-10=5$。
∵$BG\perp AE$，$AB=10$，$BG=8$，在$Rt\triangle ABG$中，$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
∵$\triangle ABE$为等腰三角形，$BG\perp AE$，∴$AG=GE=6$，则$AE=AG+GE=12$。
∵$AB// CD$，∴$\angle BAE=\angle F$（同位角相等），$\angle AEB=\angle FEC$（对顶角相等），又$\angle BAE=\angle AEB$，∴$\angle F=\angle FEC$，故$\triangle CEF$为等腰三角形，$CF=CE=5$。
∵$AB// CD$，∴$\triangle ABE\sim\triangle FCE$（AA相似），相似比为$BE:CE=10:5=2:1$。
∴$AE:EF=2:1$，即$12:EF=2:1$，解得$EF=6$。
∴$\triangle CEF$周长$=CE+CF+EF=5+5+6=16$。

10.如图$,P$为$□ ABCD$边$BC$上一点$,E,F$分别为$PA,PD$上的点,且$PA = 3PE,PD = 3PF,\triangle PEF,\triangle PDC,\triangle PAB$的面积分别记为$S,S_1,S_2$.若$S = 2$,则$S_1+S_2=$.

18

∵PA=3PE，PD=3PF，∴PE/PA=PF/PD=1/3，且∠EPF=∠APD，
∴△PEF∽△PAD（两边成比例且夹角相等），相似比为1:3。
∵相似三角形面积比为相似比平方，S△PEF=2，
∴S△PEF/S△PAD=(1/3)²=1/9，解得S△PAD=18。
∵四边形ABCD为平行四边形，P在BC上，
∴△PAD的面积为平行四边形ABCD面积的一半（同底AD，高为平行四边形高），
∴S□ABCD=2×S△PAD=36。
又∵△PAB与△PDC的面积之和为平行四边形ABCD面积的一半（底之和为BC，高为平行四边形高），
∴S₁+S₂=1/2×S□ABCD=18。