11.(7分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB=8$,$AC=6$,$BC=7$,点$D$在$BC$的延长线上,且$\triangle ACD\sim\triangle BAD$.求$CD$的长.

$9$

设$CD = x$，因为点$D$在$BC$的延长线上，且$BC = 7$，所以$BD = BC + CD = 7 + x$。
由于$\triangle ACD \sim \triangle BAD$，根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AC}{BA} = \frac{AD}{BD} = \frac{CD}{AD}$
由$\frac{AC}{BA} = \frac{AD}{BD}$，其中$AC = 6$，$BA = 8$，$BD = 7 + x$，则：
$\frac{6}{8} = \frac{AD}{7 + x} \implies AD = \frac{6(7 + x)}{8} = \frac{3(7 + x)}{4}$
由$\frac{AC}{BA} = \frac{CD}{AD}$，其中$CD = x$，则：
$\frac{6}{8} = \frac{x}{AD} \implies AD = \frac{8x}{6} = \frac{4x}{3}$
联立上述两个关于$AD$的表达式：
$\frac{3(7 + x)}{4} = \frac{4x}{3}$
解方程：
$9(7 + x) = 16x \implies 63 + 9x = 16x \implies 7x = 63 \implies x = 9$
故$CD$的长为$9$。

12.(7分)如图,已知$AB$是$\odot O$的直径,点$C$是$\odot O$上一点,连接$BC$,$AC$,过点$C$作直线$CD\perp AB$于点$D$,点$E$是$AB$上一点,直线$CE$交$\odot O$于点$F$,连接$BF$,与直线$CD$延长线交于点$G$.
求证:$BC^{2}=BG· BF$.

证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠A+∠ABC=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠ABC=90°，
∴∠A=∠BCD（同角的余角相等）．
∵∠A与∠BFC都是弧BC所对的圆周角，
∴∠A=∠BFC（同弧所对的圆周角相等），
∴∠BCD=∠BFC．
∵∠CBG=∠FBC（公共角），
∴△BCG∽△BFC（两角对应相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BC}{BF}=\frac{BG}{BC}$，
∴BC²=BG·BF．