1. (2025 云南中考改编)在$△ ABC$中，$AB = 13$，$BC = 5$，$AC = 12$，则$\sin A$的值为.

$\frac{5}{13}$（或填对应选择题的选项字母，若按照常规选择题设定，此答案对应选项可能为具体字母，但此处按题目要求直接给出数值）

在$△ABC$中，已知三边长度$AB = 13$，$BC = 5$，$AC = 12$，根据勾股定理的逆定理，若$BC^{2} + AC^{2} = AB^{2}$，则$△ABC$是直角三角形。
代入数值计算得：
$5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169 = 13^{2} = AB^{2}$。
所以，$△ABC$是直角三角形，且$∠ C = 90{°}$。
根据正弦函数的定义，在直角三角形中，$\sin A$等于对边$BC$与斜边$AB$的比值，即：
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{13}$。

2. 如图，由边长为 1 的小正方形构成的网格中，$A$，$B$，$C$都是网格的顶点，以$AB$为直径的圆经过$C$，$D$两点，则$\sin∠ ADC$的值为.

4/5

设网格中A(0,0)，D(3,0)，C(0,4)。
由勾股定理得：AD=3，AC=4，DC=√[(3-0)²+(0-4)²]=5。
∵AD²+AC²=3²+4²=25=DC²，∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90°。
在Rt△ADC中，sin∠ADC=AC/DC=4/5。

3. 如图，以$△ ABC$的边$AB$为直径的$\odot O$经过点$C$，$CD⊥ AB$于点$D$，若$AB=\frac{20}{3}$，$\cos∠ ACD=\frac{3}{5}$，则$BC$的长为.

4

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，则∠ACD+∠A=90°。又∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD。∵cos∠ACD=3/5，∴cos∠B=3/5。在Rt△ABC中，cos∠B=BC/AB，AB=20/3，∴BC=AB·cos∠B=(20/3)×(3/5)=4。

4. 已知$α$是锐角，且$\tanα=\sqrt{2}$，则$\sinα$的值为，$\cosα$的值为.

$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$

设锐角α的对边为$\sqrt{2}k$，邻边为$k$（$k＞0$），则斜边为$\sqrt{(\sqrt{2}k)^2 + k^2}=\sqrt{3}k$。$\sinα=\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{3}k}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\cosα=\frac{k}{\sqrt{3}k}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

5. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC = 13$，$BC = 10$，$D$是$BC$边上的一点（不与点$B$，$C$重合），$DE⊥ AC$于点$E$，则$\tan∠ CDE$的值为.

5/12

过点A作AF⊥BC于F，∵AB=AC=13，BC=10，∴BF=FC=5。在Rt△AFC中，AF=√(AC²-FC²)=√(13²-5²)=12。∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，则∠CDE+∠C=90°。又∠AFC=90°，∴∠CAF+∠C=90°，故∠CDE=∠CAF。在Rt△AFC中，tan∠CAF=FC/AF=5/12，∴tan∠CDE=5/12。

6. 计算：
(1)$2\sin60^{\circ}+|3-\tan60^{\circ}|+(π - 2)^0 - 2\cos30^{\circ}$；
(2)$2\cos^245^{\circ}+\sqrt{\frac{1}{4}}+(\sin30^{\circ})^{-1}$.

(1)（无选择题选项，直接写结果）$4 - \sqrt{3}$；(2)（无选择题选项，直接写结果）$\frac{7}{2}$。（若为选择题按实际选项填，这里按计算题处理给出计算结果）

(1)根据特殊角三角函数值可知$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，以及零指数幂的运算法则$a^0 = 1(a≠0)$，对原式进行化简：
$2\sin60^{\circ}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$；
$\vert3 - \tan60^{\circ}\vert=\vert3 - \sqrt{3}\vert=3 - \sqrt{3}$；
$(π - 2)^0 = 1$；
$2\cos30^{\circ}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$；
将上述结果代入原式可得：
$2\sin60^{\circ}+\vert3 - \tan60^{\circ}\vert+(π - 2)^0 - 2\cos30^{\circ}=\sqrt{3}+(3 - \sqrt{3})+1 - \sqrt{3}=4 - \sqrt{3}$；
(2)根据特殊角三角函数值可知$\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，对原式进行化简：
$2\cos^245^{\circ}=2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=2×\frac{2}{4} = 1$；
$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$；
$(\sin30^{\circ})^{-1}=(\frac{1}{2})^{-1}=2$；
将上述结果代入原式可得：
$2\cos^245^{\circ}+\sqrt{\frac{1}{4}}+(\sin30^{\circ})^{-1}=1+\frac{1}{2}+2=\frac{7}{2}$；

7. (2025 陕西中考)如图是小涵和小宇测量公园山坡上一个信号杆高度的示意图，他们在坡面$FB$上的点$D$处安装测角仪$DE$，测得信号杆顶端$A$的仰角$α$为$45^{\circ}$，$DE$与坡面的夹角$β$为$72.5^{\circ}$，又测得点$D$与信号杆底端$B$之间的距离$DB$为$22\,\mathrm{m}$.已知$DE = 1.7\,\mathrm{m}$，点$A$，$B$，$C$在同一条直线上，$AB$，$DE$均与水平线$FC$垂直.（参考数据：$\sin72.5^{\circ}\approx 0.95$，$\cos72.5^{\circ}\approx 0.30$，$\tan72.5^{\circ}\approx 3.17$）

(1)求点$D$到$AB$的距离；（精确到$0.1\,\mathrm{m}$）
(2)求信号杆的高$AB$.

(1)20.9m；(2)25.8m

(1)过点D作AB的垂线，垂足为G，点D到AB的距离为DG。由题意知DE⊥FC，AB⊥FC，故DG为D到AB的水平距离。DE与坡面FB夹角β=72.5°，则坡面FB与水平线夹角θ=90°-β=17.5°。在Rt△DGB中，DG=DB·cosθ=DB·sinβ≈22×0.95=20.9m。
(2)过E作AB的垂线，垂足为N，EN=DG=20.9m。在Rt△AEN中，∠α=45°，故AN=EN=20.9m。在Rt△DGB中，BG=DB·sinθ=DB·cosβ≈22×0.30=6.6m。DE=1.7m，故BN=BG - DE=6.6 -1.7=4.9m。AB=AN + BN=20.9 +4.9=25.8m。