10. 给出下列式子：
①$(3a + 4)(3a - 4) = 9a^{2} - 4$；
②$(2a^{2} - b)(2a^{2} + b) = 4a^{2} - b^{2}$；
③$(3x - y)(3x + y) = 9x^{2} - y^{2}$；
④$(xy - 3z)(xy + 3z) = x^{2} y^{2} - 9z^{2}$.
其中正确的个数是 ()

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

B

①$(3a + 4)(3a - 4)$，根据平方差公式得：
$(3a + 4)(3a - 4) = (3a)^{2} - 4^{2} = 9a^{2} - 16$，
与题目给出的 $9a^{2} - 4$ 不符，所以①错误。
②$(2a^{2} - b)(2a^{2} + b)$，根据平方差公式得：
$(2a^{2} - b)(2a^{2} + b) = (2a^{2})^{2} - b^{2} = 4a^{4} - b^{2}$，
与题目给出的 $4a^{2} - b^{2}$ 不符，所以②错误。
③$(3x - y)(3x + y)$，根据平方差公式得：
$(3x - y)(3x + y) = (3x)^{2} - y^{2} = 9x^{2} - y^{2}$，
与题目给出的 $9x^{2} - y^{2}$ 相符，所以③正确。
④$(xy - 3z)(xy + 3z)$，根据平方差公式得：
$(xy - 3z)(xy + 3z) = (xy)^{2} - (3z)^{2} = x^{2}y^{2} - 9z^{2}$，
与题目给出的 $x^{2}y^{2} - 9z^{2}$ 相符，所以④正确。
综上，只有③和④两个式子是正确的。

11. 已知$a - b = -3$，则$2a^{2} - 4ab + 2b^{2} =$.

18

因为$a - b = -3$，所以$2a^{2} - 4ab + 2b^{2} = 2(a^{2} - 2ab + b^{2}) = 2(a - b)^{2} = 2×(-3)^{2} = 2×9 = 18$

12. $2024^{2} - 2022 × 2026 =$.

$4$

本题可先将$2022$与$2026$进行变形，然后利用平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$进行简便计算。
将$2022$变形为$2024 - 2$，$2026$变形为$2024 + 2$，则原式可化为：
$2024^{2}-(2024 - 2)×(2024 + 2)$
根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，其中$a = 2024$，$b = 2$，可得：
$(2024 - 2)×(2024 + 2)=2024^{2}-2^{2}$
将其代入上式可得：
$2024^{2}-(2024^{2}-2^{2})$
去括号：
$2024^{2}-2024^{2}+2^{2}$
计算：$4$

13. 若$a - \frac{1}{a} = 5$，则$a^{2} + \frac{1}{a^{2}} =$.

27

根据完全平方公式，对$a - \frac{1}{a} = 5$两边同时平方可得：
$(a - \frac{1}{a})^2 = 5^2$
根据积的差平方公式$(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$，这里$m = a$，$n = \frac{1}{a}$，则有：
$a^2 - 2× a×\frac{1}{a} + (\frac{1}{a})^2 = 25$
即$a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = 25$
移项可得$a^2 + \frac{1}{a^2} = 25 + 2 = 27$

14. 若$(x - 1)^{3x - 1} = 1$，则满足条件的$x$的值为.

$\frac{1}{3}$，2

分三种情况讨论：
1. 指数为0且底数不为0：$3x - 1 = 0$且$x - 1 \neq 0$，解得$x = \frac{1}{3}$，此时底数$-\frac{2}{3} \neq 0$，成立；
2. 底数为1：$x - 1 = 1$，解得$x = 2$，此时指数$3×2 - 1 = 5$，$1^5 = 1$，成立；
3. 底数为-1且指数为偶数：$x - 1 = -1$得$x = 0$，指数$3×0 - 1 = -1$（奇数），不成立。
综上，$x = \frac{1}{3}$或2。

15. 已知$a = 2^{55},b = 5^{22}$，则$a,b$的大小关系是.(请用字母表示，并用“＜”连接).

$b＜a$。

首先，将$a$和$b$转化为具有相同指数的形式，$a = 2^{55} = (2^5)^{11} = 32^{11}$，$b = 5^{22} = (5^2)^{11} = 25^{11}$，由于指数相同，比较底数，$25 ＜ 32$，因此$25^{11} ＜ 32^{11}$，即$b ＜ a$。

16. （6分）已知$4^{m} ÷ 2^{n} = 8$，$(2^{m})^{2} · 2^{n} = 32$.
（1）求$2m - n$的值；
（2）求$(n + 2m)(2m - n)$的值.

（1）因为$4^{m} ÷ 2^{n} = (2^2)^m ÷ 2^n = 2^{2m} ÷ 2^n = 2^{2m - n}$，且$8 = 2^3$，所以$2^{2m - n} = 2^3$，则$2m - n = 3$。
（2）因为$(2^{m})^{2} · 2^{n} = 2^{2m} · 2^n = 2^{2m + n}$，且$32 = 2^5$，所以$2^{2m + n} = 2^5$，则$2m + n = 5$。又因为$(n + 2m)(2m - n) = (2m + n)(2m - n)$，所以原式$= 5×3 = 15$。
（1）3；（2）15

17. （6分）计算：
（1）$(m - 2n)(m^{2} + mn - 3n^{2})$；
（2）$(28a^{3} b^{2} c + a^{2} b^{3} - 14a^{2} b^{2}) ÷ (-7a^{2} b)$.

（1）
$\begin{aligned}&(m - 2n)(m^{2} + mn - 3n^{2})\\=&m× m^{2}+m× mn - m×3n^{2}-2n× m^{2}-2n× mn + 2n×3n^{2}\\=&m^{3}+m^{2}n - 3mn^{2}-2m^{2}n-2mn^{2}+6n^{3}\\=&m^{3}-m^{2}n - 5mn^{2}+6n^{3}\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}&(28a^{3}b^{2}c + a^{2}b^{3}-14a^{2}b^{2})÷(-7a^{2}b)\\=&28a^{3}b^{2}c÷(-7a^{2}b)+a^{2}b^{3}÷(-7a^{2}b)-14a^{2}b^{2}÷(-7a^{2}b)\\=& - 4abc-\frac{1}{7}b^{2}+2b\end{aligned}$