7. 若等腰三角形的一个外角是$100^{\circ}$,则它的顶角的度数为 ()

A.$80^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$80^{\circ}$或$20^{\circ}$
D.$80^{\circ}$或$50^{\circ}$

C

需要分两种情况来讨论等腰三角形的一个外角为$100°$时，它的顶角的度数。
情况一：外角是顶角的外角。
如果外角是顶角的外角，那么顶角$\theta$为：
$\theta = 180° - 100° = 80°$。
情况二：外角是一个底角的外角。
如果外角是一个底角的外角，那么底角为：
$底角 = 180° - 100° = 80°$。
由于等腰三角形的两个底角相等，两个底角共$2 × 80° = 160°$，
所以顶角为：
$顶角 = 180° - 160° = 20°$。
因此，等腰三角形的顶角可能是$80°$或$20°$。

8. 如图,在$\bigtriangleup ABC$中$,AB = AC,\angle BAC = 120^{\circ}$,过点$A$作$AB$的垂线交$BC$于点$D$.若$BD = 4$,则$CD$的长为 ()

A.1
B.2
C.2.5
D.3

B

在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle BAC=120°$，故$\angle B=\angle C=\frac{180° - 120°}{2}=30°$。
$\because AD\perp AB$，$\therefore \angle BAD=90°$，则$\angle DAC=\angle BAC - \angle BAD=120° - 90°=30°$。
在$\triangle ADC$中，$\angle DAC=\angle C=30°$，$\therefore AD=CD$（等角对等边）。
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle B=30°$，$\angle BAD=90°$，$BD=4$，$\therefore AD=\frac{1}{2}BD=2$（30°角所对直角边是斜边的一半）。
$\because AD=CD$，$\therefore CD=2$。

9. 如图,在$\bigtriangleup ABC$中$,\angle C = 90^{\circ}$,将$\bigtriangleup ABC$沿$DE$折叠,使得点$B$落在边$AC$上的点$F$处.若$\angle CFD = 60^{\circ}$,且$\bigtriangleup AEF$为等腰三角形,则$\angle A$的度数为 ()

A.$30^{\circ}$或$40^{\circ}$
B.$40^{\circ}$或$50^{\circ}$
C.$50^{\circ}$或$60^{\circ}$
D.$30^{\circ}$或$60^{\circ}$

B

设∠A=x，则∠B=90°-x。由折叠性质知∠DFE=∠B=90°-x。
∵∠C=90°，∠CFD=60°，∴∠AFD=180°-∠CFD=120°（平角定义）。
∠AFD=∠AFE+∠DFE，即120°=∠AFE+(90°-x)，∴∠AFE=30°+x。
△AEF为等腰三角形，分情况讨论：
1. 若AE=AF，则∠AEF=∠AFE，即180°-x-(30°+x)=30°+x，解得x=40°；
2. 若AF=EF，则∠EAF=∠AEF，即x=180°-x-(30°+x)，解得x=50°；
3. 若AE=EF，则∠EAF=∠AFE，即x=30°+x，无解。
综上，∠A=40°或50°。

10. 如图,在$\bigtriangleup ABC$中$,EF$是$BC$的垂直平分线,点$P$是直线$EF$上的一个动点.若$AB = 8,BC = 6,AC = 4$,则$\bigtriangleup APC$的周长的最小值是 ()

A.10
B.12
C.14
D.18

B

∵EF是BC的垂直平分线，∴点P在EF上时，PB=PC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
△APC的周长=AP+PC+AC=AP+PB+AC（等量代换）。
要使△APC周长最小，需AP+PB最小。
∵A、B为定点，P为直线EF上动点，且A、B在EF异侧，∴AP+PB的最小值为线段AB的长（两点之间线段最短）。
已知AB=8，AC=4，∴△APC周长的最小值=AB+AC=8+4=12。

11. 剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一,其中蕴含着图形的变换.如图,这是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸.若点$A$与点$B$对称，点$C$与点$D$对称,将其放置在直角坐标系中.若点$A,B,C$的坐标分别为$(2,0),(4,0),(0.5,4)$,则点$D$的坐标为.

(5.5,4)

因为点A与点B对称，A(2,0)，B(4,0)，所以对称轴是线段AB的垂直平分线。AB中点坐标为((2+4)/2, (0+0)/2)=(3,0)，对称轴为直线x=3。点C(0.5,4)与点D关于直线x=3对称，设D(x,4)，则(0.5+x)/2=3，解得x=5.5，所以D(5.5,4)。

12. 如图,依据尺规作图的痕迹,若$\angle ABD = 25^{\circ}$,则$\angle BDC$的度数为.

130

由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，DE是BC的垂直平分线。
∵BD平分∠ABC，∠ABD=25°，∴∠DBC=∠ABD=25°。
∵DE垂直平分BC，∴DB=DC（垂直平分线上的点到两端距离相等），∴∠DCB=∠DBC=25°。
在△BDC中，∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-25°-25°=130°。

13. 如图,在$Rt \bigtriangleup ACB$中$,\angle C = 90^{\circ},\angle A = 15^{\circ}$,点$D$为边$AC$上的一点,连接$BD,\angle DBC = 60^{\circ}$.若$BC = 2$,则$AD =$.

4

在$Rt\triangle ACB$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle A=15^{\circ}$，则$\angle ABC=180^{\circ}-\angle A-\angle C=75^{\circ}$。
$\because \angle DBC=60^{\circ}$，$\therefore \angle ABD=\angle ABC-\angle DBC=75^{\circ}-60^{\circ}=15^{\circ}$。
$\because \angle A=15^{\circ}$，$\therefore \angle A=\angle ABD$，故$\triangle ABD$为等腰三角形，$AD=BD$。
在$Rt\triangle DBC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle DBC=60^{\circ}$，则$\angle BDC=30^{\circ}$。
$\because \angle BDC=30^{\circ}$，$BC=2$（$30^{\circ}$角所对直角边），$\therefore BD=2BC=4$。
$\therefore AD=BD=4$。