【例题】解下列方程：
(1)$2x^{2}-3x= 0;$
(2)$5(x^{2}-1)= 4x;$
(3)$x(2x+5)= 2x+5.$
【思路点拨】到目前为止,已学过的解一元二次方程的方法有配方法、公式法、因式分解法,应选用较简便的方法解一元二次方程.本题(1)、(3)适合用因式分解法中的提公因式法求解方程的根,(2)用求根公式法解.
【解答】

(1) 解：
由 $2x^{2} - 3x = 0$，
提取公因式 $x$，得 $x(2x - 3) = 0$，
则 $x = 0$ 或 $2x - 3 = 0$，
解得 $x_{1} = 0$，$x_{2} = \frac{3}{2}$。
(2) 解：
由 $5(x^{2} - 1) = 4x$，
展开得 $5x^{2} - 5 = 4x$，
移项得 $5x^{2} - 4x - 5 = 0$，
其中，$a = 5$，$b = -4$，$c = -5$，
计算判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4 × 5 × (-5) = 16 + 100 = 116$，
因为 $\Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，
使用求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，
代入 $a$，$b$，$\Delta$ 的值，得
$x = \frac{4 \pm \sqrt{116}}{10} = \frac{2 \pm \sqrt{29}}{5}$，
解得 $x_{1} = \frac{2 + \sqrt{29}}{5}$，$x_{2} = \frac{2 - \sqrt{29}}{5}$。
(3) 解：
由 $x(2x + 5) = 2x + 5$，
移项得 $x(2x + 5) - (2x + 5) = 0$，
提取公因式 $(2x + 5)$，得 $(2x + 5)(x - 1) = 0$，
则 $2x + 5 = 0$ 或 $x - 1 = 0$，
解得 $x_{1} = -\frac{5}{2}$，$x_{2} = 1$。

1. 方程$3x(x+1)= 3x+3$的解为 ()
A.$x= 1$
B.$x= -1$
C.$x_{1}= 0,x_{2}= -1$
D.$x_{1}= 1,x_{2}= -1$

D

首先，将方程 $3x(x+1) = 3x + 3$ 进行整理。
将所有项移到等式一边，得到：
$3x(x+1) - 3x - 3 = 0$
进一步整理，合并同类项：
$3x^2 + 3x - 3x - 3 = 0$
$3x^2 - 3 = 0$
$3(x^2 - 1) = 0$
$x^2 - 1 = 0$
接下来，利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，将 $x^2 - 1$ 分解为 $(x+1)(x-1)$：
$(x+1)(x-1) = 0$
由此，得到两个方程：
$x+1 = 0 \quad 或 \quad x-1 = 0$
解得：
$x_1 = -1, \quad x_2 = 1$

2. 方程$x^{2}+6x-5= 0$的左边配成完全平方式后所得的方程为 ()
A.$(x+3)^{2}= 14$
B.$(x-3)^{2}= 14$
C.$(x+6)^{2}= \frac {1}{2}$
D.以上都不对

A

原方程为 $x^{2}+6x-5=0$。
将常数项移到右边得 $x^{2}+6x=5$。
为了配成完全平方，考虑一次项系数的一半的平方，即 $(\frac{6}{2})^{2}=9$。
两边同时加上9，得到 $x^{2}+6x+9=14$。
左边可以写成 $(x+3)^{2}$，所以方程变为 $(x+3)^{2}=14$。

3. 若$n(n≠0)$是关于x的方程$x^{2}+mx+2n= 0$的根,则$m+n$的值为 ()
A.1
B.2
C.-1
D.-2

D

因为$n(n≠0)$是方程$x^{2}+mx+2n=0$的根，所以将$x=n$代入方程得：$n^{2}+mn + 2n=0$。
方程两边同时除以$n$（$n≠0$）得：$n + m + 2=0$，即$m + n=-2$。

4. 方程$\sqrt {2}x^{2}+3x= 0$的根是.

$ \sqrt{2}x^{2} + 3x = 0 $，
提取公因式 $ x $：
$ x(\sqrt{2}x + 3) = 0 $，
得到两个解：
$ x = 0 $，
$ \sqrt{2}x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{\sqrt{2}} = -\frac{3\sqrt{2}}{2} $。
方程的根是$x_{1} = 0 , x_{2} = - \frac{3\sqrt{2}}{2}$。

5. 已知关于x的方程$x^{2}-kx-6= 0$的一个根为x= 3,则实数k的值为.

1

将$x = 3$代入方程$x^{2}-kx - 6=0$，得：
$3^{2}-3k - 6=0$
$9 - 3k - 6=0$
$3 - 3k=0$
$-3k=-3$
$k = 1$
1

6. 关于x的一元二次方程$x^{2}+bx+c= 0$的两个实数根分别为1和2,则$b=$,$c=$.

$-3$；$2$

已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+bx+c = 0$的两个实数根分别为$x_1 = 1$和$x_2 = 2$。
根据韦达定理，在一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$中，两根$x_1$、$x_2$有$x_1 + x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
对于方程$x^{2}+bx + c = 0$，其中$a = 1$，则有：
$x_1 + x_2=1 + 2=-\frac{b}{1}$，即$3=-b$，解得$b=-3$。
$x_1x_2=1×2=\frac{c}{1}$，即$c = 2$。

7. 设a,b是一个直角三角形两条直角边的长,且$(a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2}+1)= 12$,则这个直角三角形的斜边长为.

设直角三角形的斜边长为$ c $，由勾股定理得$ a^{2}+b^{2}=c^{2} $。
令$ x = a^{2}+b^{2} $，则原方程化为$ x(x + 1)=12 $，即$ x^{2}+x - 12=0 $。
因式分解得$(x + 4)(x - 3)=0$，解得$ x_{1}=-4 $，$ x_{2}=3 $。
因为$ x = a^{2}+b^{2} \geq 0 $，所以$ x=-4 $舍去，即$ x=3 $，故$ c^{2}=3 $。
又因为$ c＞0 $，所以$ c=\sqrt{3} $。
$\sqrt{3}$

8. 选用合适的方法解下列方程:
(1)$(x-1)^{2}= 4;$
(2)$(x+4)^{2}= 5(x+4);$
(3)$(x+3)^{2}= (1-2x)^{2};$
(4)$x^{2}-4x+1= 0.$

(1)解：
由 $(x-1)^{2} = 4$，
开方得 $x-1 = \pm 2$，
解得 $x_{1} = 3$，$x_{2} = -1$。
(2)解：
由 $(x+4)^{2} = 5(x+4)$，
移项得 $(x+4)^{2} - 5(x+4) = 0$，
因式分解得 $(x+4)(x-1) = 0$，
解得 $x_{1} = -4$，$x_{2} = 1$。
(3)解：
由 $(x+3)^{2} = (1-2x)^{2}$，
开方得 $x+3 = \pm(1-2x)$，
分两种情况解：
当 $x+3 = 1-2x$ 时，解得 $x = -\frac{2}{3}$；
当 $x+3 = -(1-2x)$ 时，解得 $x = 4$。
所以 $x_{1} = -\frac{2}{3}$，$x_{2} = 4$。
(4)解：
由 $x^{2}-4x+1 = 0$，
移项得 $x^{2}-4x = -1$，
配方得 $(x-2)^{2} = 3$，
开方得 $x-2 = \pm\sqrt{3}$，
解得 $x_{1} = 2+\sqrt{3}$，$x_{2} = 2-\sqrt{3}$。