【例1】下列哪些数是方程$x^{2}+7x+12= 0$的根？
-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
【思路点拨】根据方程的根的定义:能使方程两边相等的未知数的值即是方程的根.
【解答】______

$- 4$和$- 3$是方程的根（若以选择题形式呈现，则根据具体选项填写）。

根据方程的根的定义，将给定的数分别代入方程$x^{2}+7x+12= 0$中进行验证。
当$x = - 5$时，左边$= (-5)^{2} + 7 × (-5) + 12 = 25 - 35 + 12 = 2 \neq 0$，所以$x = - 5$不是方程的根。
当$x = - 4$时，左边$= (-4)^{2} + 7 × (-4) + 12 = 16 - 28 + 12 = 0$，所以$x = - 4$是方程的根。
当$x = - 3$时，左边$= (-3)^{2} + 7 × (-3) + 12 = 9 - 21 + 12 = 0$，所以$x = - 3$是方程的根。
当$x = - 2$时，左边$= (-2)^{2} + 7 × (-2) + 12 = 4 - 14 + 12 = 2 \neq 0$，所以$x = - 2$不是方程的根。
当$x = - 1$时，左边$= (-1)^{2} + 7 × (-1) + 12 = 1 - 7 + 12 = 6 \neq 0$，所以$x = - 1$不是方程的根。
当$x = 0$时，左边$= 0^{2} + 7 × 0 + 12 = 12 \neq 0$，所以$x = 0$不是方程的根。
当$x = 1$时，左边$= 1^{2} + 7 × 1 + 12 = 1 + 7 + 12 = 20 \neq 0$，所以$x = 1$不是方程的根。
当$x = 2$时，左边$= 2^{2} + 7 × 2 + 12 = 4 + 14 + 12 = 30 \neq 0$，所以$x = 2$不是方程的根。
当$x = 3$时，左边$= 3^{2} + 7 × 3 + 12 = 9 + 21 + 12 = 42 \neq 0$，所以$x = 3$不是方程的根。
当$x = 4$时，左边$= 4^{2} + 7 × 4 + 12 = 16 + 28 + 12 = 56 \neq 0$，所以$x = 4$不是方程的根。
综上，方程$x^{2}+7x+12= 0$的根是$- 4$和$- 3$。

【例2】已知关于x的一元二次方程$(a-1)x^{2}+x+a^{2}-1= 0$的一个根是0,则a的值为 ()
A.1
B.-1
C.-1或1
D.$\frac{1}{2}$

B

把$x = 0$代入方程$(a - 1)x^{2}+x + a^{2}-1 = 0$，可得$a^{2}-1 = 0$，即$(a + 1)(a - 1)=0$，解得$a = 1$或$a = -1$。
又因为方程$(a - 1)x^{2}+x + a^{2}-1 = 0$是一元二次方程，所以二次项系数$a - 1\neq0$，即$a\neq1$。
综上，$a = -1$。

1. 下列各数中是方程$x(x+10)= 875$的解的是 ()
A.30
B.25
C.20
D.-40.5

B

首先将方程$x(x+10)=875$展开得到$x^2 + 10x = 875$。
接着移项，得到$x^2 + 10x - 875 = 0$。
为了解这个一元二次方程，可以尝试因式分解或者使用求根公式。
在这里，通过尝试和观察，可以发现25是方程的一个解，
因为$25 × (25 + 10) = 25 × 35 = 875$。
所以，方程可以分解为$(x-25)(x+35)=0$，
从而得到方程的解为$x=25$或$x=-35$。
检查选项，发现只有25在选项中。

2. 已知m是方程$x^{2}-x-1= 0$的一个根,则代数式$m^{2}-m$的值等于 ()
A.-1
B.0
C.1
D.2

答题卡：
2. 解：
由于m是方程$x^{2} - x - 1 = 0$的一个根，根据方程的定义，我们有：
$m^{2} - m - 1 = 0$
移项得：
$m^{2} - m = 1$
故答案为：C. $1$

3. 若a,b,c是非零实数,且$a-b+c= 0$,则有一个根是1的方程是 ()
A.$ax^{2}+bx+c= 0$
B.$ax^{2}-bx+c= 0$
C.$ax^{2}+bx-c= 0$
D.$ax^{2}-bx-c= 0$

B

设方程的根为 $x = 1$，代入选项中的方程进行验证。
A. 代入 $x = 1$ 到 $ax^{2} + bx + c = 0$，得 $a + b + c = 0$，与 $a - b + c = 0$ 不符，所以A错误；
B. 代入 $x = 1$ 到 $ax^{2} - bx + c = 0$，得 $a - b + c = 0$，与题目给定的 $a - b + c = 0$ 相符，所以B正确；
C. 代入 $x = 1$ 到 $ax^{2} + bx - c = 0$，得 $a + b - c = 0$，与 $a - b + c = 0$ 不符，所以C错误；
D. 代入 $x = 1$ 到 $ax^{2} - bx - c = 0$，得 $a - b - c = 0$，与 $a - b + c = 0$ 不符，所以D错误。

4. 关于x的一元二次方程$2x^{2}-3x-a^{2}+1= 0$的一个根为2,则a的值是 ()
A.1
B.$\sqrt{3}$
C.$-\sqrt{3}$
D.$\pm\sqrt{3}$

D

已知方程 $2x^2 - 3x - a^2 + 1 = 0$ 的一个根为 $x=2$，将 $x=2$ 代入方程：
$2(2)^2 - 3(2) - a^2 + 1 = 0 $
计算得：
$8 - 6 - a^2 + 1 = 0 \implies 3 - a^2 = 0 \implies a^2 = 3 $
解得 $a = \pm\sqrt{3}$。

5. 如果2是方程$x^{2}-c= 0$的一个根,那么$c^{2}$的值是 ()
A.6
B.16
C.2
D.-2

1. 根据题意，2是方程$x^{2}-c=0$的一个根，代入$x=2$得：
$2^{2}-c=0$
2. 化简得：
$4-c=0$
3. 解得：
$c=4$
4. 计算$c^{2}$的值：
$c^{2}=4^{2}=16$
故答案为：B. 16。

6. 若一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(c≠0)$有一个根为-1,则a,b,c满足的关系式是.

答题卡：
6. 解：
将 $x = -1$ 代入方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，得：
$a(-1)^{2} + b(-1) + c = 0$
即：
$a - b + c = 0$
故答案为：$a - b + c = 0$。

7. 若$x= 2是一元二次方程x^{2}+x+c= 0$的一个解,则$c^{2}= $.

将$x = 2$代入方程$x^{2}+x + c=0$，得：
$\begin{aligned}2^{2}+2 + c&=0\\4 + 2 + c&=0\\6 + c&=0\\c&=-6\end{aligned}$
则$c^{2}=(-6)^{2}=36$
36

8. 若a是一元二次方程$x^{2}-3a+2= 0$的一个根,则$\frac{a^{2}+2}{a}$的值为.

3

由于$a$是方程$x^{2} - 3x + 2 = 0$的一个根，根据一元二次方程的定义，我们有：$a^{2} - 3a + 2 = 0$，
移项，得到：$a^{2} = 3a - 2$，
接下来，我们需要求$\frac{a^{2} + 2}{a}$的值，将$a^{2} = 3a - 2$代入，得到：
$\frac{a^{2} + 2}{a} = \frac{3a - 2 + 2}{a} = \frac{3a}{a} = 3$，
经过化简，我们得到$\frac{a^{2} + 2}{a} = 3$。