4. 如图,用若干个全等的正五边形排成圆环状.要完成这一圆环排列,共需要个正五边形.
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10

正五边形每个内角为$(5-2)×180°/5=108°$，外角为$180°-108°=72°$。排成圆环状时，相邻正五边形公共顶点处两内角和为$108°×2=216°$，则该顶点处剩余角度为$360°-216°=144°$，此角度对应的中心角为$180°-144°=36°$。圆环一周为$360°$，故需正五边形个数为$360°/36°=10$。

5. 如果一个正六边形的边心距为$ \sqrt{3}\ cm $,那么它的内切圆的半径为cm.

$\sqrt{3}$

正多边形的边心距即为其内切圆的半径，已知正六边形边心距为$\sqrt{3}$cm，故内切圆半径为$\sqrt{3}$cm。

6. 如图,正八边形的边长为2,对角线 $ AB $,$ CD $ 相交于点 $ E $,则线段 $ BE $ 的长为.
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$2\sqrt{2}$

以正八边形中心为原点建立坐标系，设外接圆半径为$R$。由边长$2 = 2R\sin22.5°$，得$R=\frac{1}{\sin22.5°}=\frac{2}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}$。设顶点坐标：$P_1(\frac{R\sqrt{2}}{2},\frac{R\sqrt{2}}{2})$，$P_2(0,R)$，$P_6(0,-R)$，$P_7(\frac{R\sqrt{2}}{2},-\frac{R\sqrt{2}}{2})$。直线$AB$（$P_7P_2$）方程：$y=(-\sqrt{2}-1)x+1$；直线$CD$（$P_1P_6$）方程：$y=(\sqrt{2}+1)x-1$。联立得交点$E(\sqrt{2}-1,0)$（$R=1$时）。放大比例$k=\frac{2}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}$，则$BE=k\cdot\sqrt{(√2 -1)^2+1^2}=2\sqrt{2}$。

7. 如图,$ AD $ 是正五边形 $ ABCDE $ 的一条对角线,以点 $ C $ 为圆心,$ CB $ 长为半径作弧,交 $ AD $ 于点 $ F $,连接 $ CF $,则$ \angle CFD $的度数为.
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72°

∵ABCDE是正五边形，∴AB=BC=CD=DE=EA，每个内角为108°。
在△ABC中，AB=BC，∠ABC=108°，∴∠BAC=∠BCA=(180°-108°)/2=36°。
同理，在△AED中，∠EAD=∠EDA=36°，∴∠BAD=∠BAE-∠EAD=108°-36°=72°，∠CAD=∠BAD-∠BAC=72°-36°=36°。
在△ACD中，∠CAD=36°，∠ADC=∠CDE-∠EDA=108°-36°=72°，∴∠ACD=180°-36°-72°=72°。
∵CF=CB（以C为圆心，CB为半径作弧），CB=AB，∴CF=AB。
在△ABC和△AFC中，AB=CF，∠BAC=∠CAF=36°，AC=AC，∴△ABC≌△AFC（SAS），∴∠ACF=∠ACB=36°。
∴∠FCD=∠ACD-∠ACF=72°-36°=36°。
∵CF=CD（CF=CB=CD），∴△CFD为等腰三角形，∠CFD=∠CDF。
∴∠CFD=(180°-∠FCD)/2=(180°-36°)/2=72°。

8. 如图,正方形 $ ABCD $ 内接于$ \odot O $,$ P $ 为$ \overset{\frown}{BC} $上的一点,连接 $ DP $,$ CP $.
(1)求$ \angle CPD $的度数；
(2)当 $ P $ 为$ \overset{\frown}{BC} $的中点时,$ CP $ 是$ \odot O $的内接正 $ n $ 边形的一边,求 $ n $ 的值.
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(1)∵正方形$ABCD$内接于$\odot O$，∴$\odot O$是正方形$ABCD$的外接圆，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DA}=\frac{360°}{4}=90°$。
$\angle CPD$是圆周角，其所对弧为$\overset{\frown}{CD}$，根据圆周角定理，$\angle CPD=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{CD}$的度数$=\frac{1}{2}×90°=45°$。
(2)当$P$为$\overset{\frown}{BC}$中点时，$\overset{\frown}{BC}=90°$，∴$\overset{\frown}{PC}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BC}=45°$。
∵$CP$是$\odot O$内接正$n$边形的一边，∴正$n$边形的边长所对弧的度数为$\frac{360°}{n}$，即$\frac{360°}{n}=45°$，解得$n=8$。
(1)$45°$；(2)$8$