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1. 如图,在⊙O中,弦AB的长为8,圆心O到AB的距离OE= 4,则⊙O的半径为(
A.4
B.$4\sqrt{2}$
C.5
D.$5\sqrt{2}$
B
)A.4
B.$4\sqrt{2}$
C.5
D.$5\sqrt{2}$
答案
B
解析
连接OA，∵OE⊥AB，∴AE=AB/2=4。在Rt△AOE中，OA²=OE²+AE²=4²+4²=32，∴OA=4√2。
2. 如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P.若AP= 2,BP= 6,∠APC= 30°,则CD的长为(
A.$\sqrt{15}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{15}$
D.8
C
)A.$\sqrt{15}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{15}$
D.8
答案
C
解析
连接OC，过O作OM⊥CD于M。
∵AB是直径，AP=2，BP=6，∴AB=8，半径OC=4，OA=4。
∵AP=2，∴OP=OA-AP=4-2=2。
∵OM⊥CD，∴∠OMP=90°，CM=MD。
∵∠APC=30°，∴∠OPM=30°。
在Rt△OMP中，OP=2，∠OPM=30°，∴OM=OP·sin30°=2×1/2=1。
在Rt△OMC中，OC=4，OM=1，由勾股定理得CM=√(OC²-OM²)=√(16-1)=√15。
∴CD=2CM=2√15。
∵AB是直径，AP=2，BP=6，∴AB=8，半径OC=4，OA=4。
∵AP=2，∴OP=OA-AP=4-2=2。
∵OM⊥CD，∴∠OMP=90°，CM=MD。
∵∠APC=30°，∴∠OPM=30°。
在Rt△OMP中，OP=2，∠OPM=30°，∴OM=OP·sin30°=2×1/2=1。
在Rt△OMC中，OC=4，OM=1，由勾股定理得CM=√(OC²-OM²)=√(16-1)=√15。
∴CD=2CM=2√15。
3. 赵州桥是世界上现存跨度最大、保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图,主桥拱呈圆弧形,跨度约为37 m,拱高约为7 m,则赵州桥主桥拱的半径约为(
A.20 m
B.28 m
C.35 m
D.40 m
B
)A.20 m
B.28 m
C.35 m
D.40 m
答案
B
解析
设主桥拱所在圆的半径为 $ R $ m，跨度 $ AB = 37 $ m，拱高 $ CD = 7 $ m。圆心为 $ O $，连接 $ OA $，$ OC $，则 $ OC \perp AB $ 于点 $ D $，$ AD = \frac{AB}{2} = 18.5 $ m，$ OD = R - 7 $ m。在 $ Rt\triangle AOD $ 中，由勾股定理得 $ OA^2 = AD^2 + OD^2 $，即 $ R^2 = 18.5^2 + (R - 7)^2 $。解得 $ R \approx 28 $。
4. 已知⊙O的半径为7,AB是⊙O的弦,点P在弦AB上.若PA= 4,PB= 6,则OP的长为(
A.$\sqrt{14}$
B.4
C.$\sqrt{23}$
D.5
D
)A.$\sqrt{14}$
B.4
C.$\sqrt{23}$
D.5
答案
D
解析
过点O作OM⊥AB于点M，连接OA。
∵AB是⊙O的弦，OM⊥AB，∴M为AB中点。
∵PA=4，PB=6，∴AB=PA+PB=10，∴AM=AB/2=5。
∴PM=AM-PA=5-4=1。
在Rt△OAM中，OA=7，AM=5，由勾股定理得：OM²=OA²-AM²=7²-5²=24。
在Rt△OPM中，PM=1，OM²=24，由勾股定理得：OP²=OM²+PM²=24+1=25，∴OP=5。
∵AB是⊙O的弦，OM⊥AB，∴M为AB中点。
∵PA=4，PB=6，∴AB=PA+PB=10，∴AM=AB/2=5。
∴PM=AM-PA=5-4=1。
在Rt△OAM中，OA=7，AM=5，由勾股定理得：OM²=OA²-AM²=7²-5²=24。
在Rt△OPM中，PM=1，OM²=24，由勾股定理得：OP²=OM²+PM²=24+1=25，∴OP=5。
