8. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 和 $Rt\triangle ADE$ 中,$\angle BAC= \angle DAE= 90^{\circ}$,$AB= AC$,$AD= AE$,连接 CD,P 为 CD 的中点,连接 AP.
(1) 请在图中作出 $\triangle ADP$ 关于点 P 成中心对称的 $\triangle FCP$;
(2) 连接 BE,求 $\frac{AP}{BE}$ 的值.

(2)$\frac{1}{2}$

(1) 延长AP至点F，使PF=AP，连接CF，则△FCP即为△ADP关于点P成中心对称的三角形。
(2) 连接AF，由中心对称性质得：AP=PF，PD=PC，∴四边形ADCF为平行四边形，∴CF=AD=AE，CF//AD。
∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠CAD=∠BAE。
∵CF//AD，∴∠CAD=∠ACF，∴∠ACF=∠BAE。
在△ABE和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAE=∠ACF\\AE=CF\end{array}\right.$，∴△ABE≌△ACF(SAS)，∴BE=AF。
∵AF=2AP，∴BE=2AP，∴$\frac{AP}{BE}=\frac{1}{2}$。

拓展提升
如图,E 是正方形 ABCD 内一点,$\angle AEB= 90^{\circ}$,将 $\triangle AEB$ 绕点 O 旋转 $180^{\circ}$ 得 $\triangle CDF$.
(1) 请在图中作出点 O 和 $\triangle CDF$,并简要说明作图过程;
(2) 若 $AE= 12$,$AB= 13$,求 EF 的长.

(2) 7√2

(1) 作图过程：连接正方形ABCD的对角线AC、BD，交点即为点O；连接EO并延长至F，使OF=EO，连接C、D、F，得△CDF。
(2) 在Rt△AEB中，AB=13，AE=12，由勾股定理得BE=√(AB²-AE²)=√(13²-12²)=5。以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，设E(x,y)，则x²+y²=BE²=25，x²+(y-13)²=AE²=144。解得x=60/13，y=25/13。O为AC中点，坐标(13/2,13/2)。EO=√[(13/2-60/13)²+(13/2-25/13)²]=7√2/2，EF=2EO=7√2。