11. 计算:$2\cos30^{\circ }+\sqrt {2}\sin45^{\circ }-\tan60^{\circ }=$.

$1$

首先，根据特殊三角函数值，知道：
$\cos30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\sin45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\tan60^{\circ} = \sqrt{3}$，
代入原式，得到：
$2\cos30^{\circ} + \sqrt{2}\sin45^{\circ} - \tan60^{\circ}$
$= 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3}$
$= \sqrt{3} + 1 - \sqrt{3}$
$= 1$

12. 如图,一根竖直的木杆在离地面 3.1 m 处折断,木杆顶端落在地面上,且与地面成$38^{\circ }$角,则木杆折断之前的高度约为m. (参考数据:$sin38^{\circ }\approx 0.62,cos38^{\circ }\approx 0.79,tan38^{\circ }\approx 0.78$)

8.1

设木杆折断部分长度为 $ x $ m，由题意知，折断后木杆底部到顶端落点的距离与地面成 $ 38° $ 角，折断点离地面 3.1 m，即直角三角形的对边为 3.1 m，斜边为 $ x $ m。根据 $ \sin 38° = \frac{对边}{斜边} $，得 $ \sin 38° = \frac{3.1}{x} $，则 $ x = \frac{3.1}{\sin 38°} \approx \frac{3.1}{0.62} = 5 $ m。木杆原高为折断部分与剩余部分之和，即 $ 3.1 + 5 = 8.1 $ m。

13. 如图,在网格中,每个小正方形的边长均为 1.已知点 A,B,C 在$\odot O$上,且都是小正方形的顶点,P 是$\widehat {ACB}$上任意一点,则$∠P$的正切值为.

$\frac12$

14. 如图,在网格中,每个小正方形的边长均为 1,A,B,C,D 都在格点处,AB 与 CD 相交于点 O,则$tan∠BOD$的值为.

3

以网格中格点建立平面直角坐标系，设各点坐标：A(0,0)，B(4,2)，C(1,3)，D(3,1)。
1. 求直线AB解析式：斜率为(2-0)/(4-0)=1/2，方程为y=(1/2)x。
2. 求直线CD解析式：斜率为(1-3)/(3-1)=-1，方程为y=-x+4。
3. 联立AB、CD方程求交点O：(1/2)x=-x+4，解得x=8/3，y=4/3，即O(8/3,4/3)。
4. 求直线OB、OD斜率：OB斜率k₁=(2-4/3)/(4-8/3)=1/2，OD斜率k₂=(1-4/3)/(3-8/3)=-1。
5. 利用两直线夹角正切公式：tan∠BOD=|(k₂-k₁)/(1+k₁k₂)|=|(-1-1/2)/(1+(1/2)(-1))|=3。

15. 如图,在矩形 ABCD 中,$DE⊥AC$,垂足为 E.若$\sin∠ADE= \frac {4}{5},$ $AD= 4$,则 AB 的长为.

3

在矩形ABCD中，∠ADC=90°，CD=AB，AD=4。
∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，则∠DAE+∠ADE=90°。
又∵∠ADC=90°，∴∠DAE+∠ACD=90°，故∠ADE=∠ACD。
已知sin∠ADE=4/5，∴sin∠ACD=4/5。
在Rt△ADC中，sin∠ACD=AD/AC=4/5，AD=4，∴AC=5。
由勾股定理得：CD=√(AC²-AD²)=√(5²-4²)=3，∴AB=CD=3。

16. 如图,PA,PB 分别与$\odot O$相切于点 A,B,连接 PO 并延长与 $\odot O$交于点 C,D.若$CD= 12,PA= 8$,则$sin∠ADB$的值为______.

4/5

连接OA，AB，设PO交AB于E。
∵PA是切线，∴OA⊥PA，OA=6（CD=12，半径为6）。
在Rt△OAP中，PA=8，OA=6，∴PO=√(6²+8²)=10。
由切线长定理，PO垂直平分AB，设OE=y，AE=x。
在Rt△AOE中：x²+y²=36；在Rt△PAE中：x²+(10-y)²=64。
两式相减得：100-20y=28，解得y=18/5，∴x=√(36-(18/5)²)=24/5。
∠ADB是圆周角，∠AOB是圆心角，∴∠ADB=1/2∠AOB。
∵OE平分∠AOB（三线合一），∴∠AOE=1/2∠AOB=∠ADB。
在Rt△AOE中，sin∠AOE=AE/OA=(24/5)/6=4/5，∴sin∠ADB=4/5。

17. 我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的 "边长正度值".若等腰三角形的腰长为 5,"边长正度值"为 3,则这个等腰三角形底角的余弦值为.

$\frac{4}{5}$或$\frac{1}{5}$（填写格式为“$\frac{4}{5}$ 或 $\frac{1}{5}$”对应的选项）

设等腰三角形的底边长为 $x$，根据题意，腰长与底边长的差的绝对值为 3，即：
$||5 - x|| = 3$，
分两种情况考虑：
当 $5 - x = 3$ 时，解得 $x = 2$。
当 $x - 5 = 3$ 时，解得 $x = 8$。
对于第一种情况，底边长为 2，由等腰三角形的性质，两腰相等，均为 5。利用余弦定理计算底角的余弦值：
$\cos \theta = \frac{\frac{2}{2}}{5} = \frac{1}{5}$（利用底边的一半与腰构成直角三角形）。
对于第二种情况，底边长为 8，同样由等腰三角形的性质，两腰相等，均为 5。此时，需要判断是否能构成三角形，根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，这里 $5 + 5 ＞ 8$，所以能构成三角形。再利用余弦定理计算底角的余弦值：
$\cos \theta = \frac{\frac{8}{2}}{5} = \frac{4}{5}$（同样利用底边的一半与腰构成直角三角形，但此时底边的一半为4）。

18. 在$△ABC$中,$∠C= 90^{\circ },a,b,c分别为∠A,∠B,∠C$的对边.若 $b^{2}= ac$,则$sinA$的值为______.

$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，由勾股定理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。已知$b^{2}=ac$，代入得$a^{2}+ac=c^{2}$。设$sinA=\frac{a}{c}=k$，则$a=kc$，代入$a^{2}+ac=c^{2}$得$(kc)^{2}+kc\cdot c=c^{2}$，化简得$k^{2}+k=1$，即$k^{2}+k-1=0$。解得$k=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，因$sinA＞0$，故$k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$sinA=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。