15. 如图,AB 是$\odot O$的直径,TB 是$\odot O$的切线,连接 AT 交$\odot O$于点 C. 若$\angle ATB= 50^{\circ}$,则$\angle BOC$的度数为.

$80°$（题目要求直接写度数，此处理按照要求只呈现度数结果）
$80^{\circ}$

由于$AB$是$\odot O$的直径，$TB$是$\odot O$的切线，所以$AB\bot TB$，即$\angle ABT=90°$。
已知$\angle ATB=50°$，则在直角三角形$ABT$中：
$\angle A= 180°-90° -50°=40°$。
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，$\angle A$和$\angle BOC$分别对应同一段弧$\stackrel\frown{BC}$的圆周角和圆心角，
所以$\angle BOC=2\angle A=2×40° =80°$。

16. 小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间的函数关系是$h= 20t-5t^{2}$. 有下列结论：① 小球从飞出到落地需要 4 s；② 小球的飞行高度可以是 25 m；③ 小球飞行 1.5 s 的高度大于飞行 3 s 的高度. 其中,正确的是.(填序号)

①③

①令$h = 0$，则$20t - 5t^{2}=0$，
$5t^{2}-20t = 0$，$5t(t - 4)=0$，
解得$t_{1}=0$，$t_{2}=4$，
所以小球从飞出到落地需要$4s$，①正确。
②$h = 20t-5t^{2}=-5(t^{2}-4t)=-5(t^{2}-4t + 4 - 4)=-5(t - 2)^{2}+20$，
因为$-5\lt0$，所以当$t = 2$时，$h$有最大值$20$，
因为$25\gt20$，所以小球的飞行高度不可以是$25m$，②错误。
③当$t = 1.5$时，$h_{1}=20×1.5-5×1.5^{2}=30 - 11.25 = 18.75$；
当$t = 3$时，$h_{2}=20×3-5×3^{2}=60 - 45 = 15$；
因为$18.75\gt15$，所以小球飞行$1.5s$的高度大于飞行$3s$的高度，③正确。
综上，正确的是①③。

17. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$AC= 6\ cm$,$BC= 8\ cm$,$\odot O是\triangle ABC$的内切圆,则图中阴影部分的面积是$cm^{2}$.

$24 - 4\pi$

在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理可得$AB = \sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10\ cm$。
设$\odot O$与$Rt\triangle ABC$的三边$AC$、$BC$、$AB$的切点分别为$D$、$E$、$F$，连接$OD$、$OE$、$OF$，则$OD\perp AC$，$OE\perp BC$，$OF\perp AB$，且$OD = OE = OF$（内切圆半径）。
根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOB}$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×6×8 = 24\ cm^{2}$。
又因为$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}× AC× OD$，$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}× BC× OE$，$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}× AB× OF$，且$OD = OE = OF=r$，所以$\frac{1}{2}×6× r+\frac{1}{2}×8× r+\frac{1}{2}×10× r = 24$，即$\frac{1}{2}(6 + 8+10)r = 24$，$12r = 24$，解得$r = 2\ cm$。
$\odot O$的面积$S_{\odot O}=\pi r^{2}=4\pi\ cm^{2}$。
阴影部分面积$S = S_{\triangle ABC}-S_{\odot O}=24 - 4\pi\ cm^{2}$。

18. 已知关于 x 的二次函数$y= mx^{2}-2mx+n$的最小值为 4,设$z= m-n^{2}+5n$,则 z 的取值范围是.

$z ＜ 4$

∵二次函数$y = mx^2 - 2mx + n$有最小值，∴$m ＞ 0$。
配方得$y = m(x - 1)^2 + (n - m)$，最小值为$n - m = 4$，即$n = m + 4$。
∵$m ＞ 0$，∴$n = m + 4 ＞ 4$。
将$m = n - 4$代入$z = m - n^2 + 5n$，得$z = -n^2 + 6n - 4$。
$z = -n^2 + 6n - 4$是开口向下的二次函数，对称轴为$n = 3$。
∵$n ＞ 4$，在对称轴右侧$z$随$n$增大而减小，当$n = 4$时，$z = 4$，∴$z ＜ 4$。

19.(本小题 10 分)已知抛物线$y= x^{2}-2x-3$.
(1)请在图中的平面直角坐标系中作出这条抛物线；
(2)结合抛物线的性质,当 x 取什么值时,函数值小于 0？

(2)$-1＜x＜3$

(1) 抛物线$y=x^{2}-2x-3$，列表：
|x|...|-1|0|1|2|3|...|
|y|...|0|-3|-4|-3|0|...|
描点、连线作图（图略）。
(2) 令$y=0$，则$x^{2}-2x-3=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$。抛物线开口向上，所以当$-1＜x＜3$时，函数值小于0。

20.(本小题 10 分)如图,在$\odot O$中,半径$OA\perp BC$,点 D 在$\odot O$上(不与点 A,B,C 重合),$\angle AOC= 70^{\circ}$.
(1)当点 D 在优弧 BC 上时,求$\angle ADB$的度数；
(2)若点 D 在劣弧 BC 上,则$\angle ADB$的度数为.

(1)
因为$OA\perp BC$，$OA$为半径，根据垂径定理可知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$\angle AOB = \angle AOC = 70^{\circ}$。
根据圆周角定理，圆周角等于它所对弧所对圆心角的一半，所以$\angle ADB=\frac{1}{2}\angle AOC$。
已知$\angle AOC = 70^{\circ}$，则$\angle ADB = 35^{\circ}$。
(2)
因为四边形$ADBC$是圆内接四边形，根据圆内接四边形的对角互补，即$\angle ADB+\angle ACB = 180^{\circ}$。
由(1)知$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB = 35^{\circ}$（同弧所对的圆周角是圆心角的一半），所以$\angle ADB = 180^{\circ}-35^{\circ}=145^{\circ}$。
故答案为：(1)$35^{\circ}$；(2)$145^{\circ}$。