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1.(2024,云南)两年前生产1kg甲种药品的成本为80元,随着生产技术的进步,现在生产1kg甲种药品的成本为60元. 设生产甲种药品的成本的年平均下降率为$x$,根据题意,下列方程中正确的是(
A.$80(1-x^{2})= 60$
B.$80(1-x)^{2}= 60$
C.$80(1-x)= 60$
D.$80(1-2x)= 60$
B
).A.$80(1-x^{2})= 60$
B.$80(1-x)^{2}= 60$
C.$80(1-x)= 60$
D.$80(1-2x)= 60$
答案
解：设生产甲种药品的成本的年平均下降率为$x$。
两年前成本为80元，一年后成本为$80(1 - x)$元，两年后成本为$80(1 - x)^2$元。
根据现在成本为60元，可得方程：$80(1 - x)^2 = 60$。
答案：B
两年前成本为80元，一年后成本为$80(1 - x)$元，两年后成本为$80(1 - x)^2$元。
根据现在成本为60元，可得方程：$80(1 - x)^2 = 60$。
答案：B
2.(2023,河南)关于$x的一元二次方程x^{2}+mx-8= 0$的根的情况是(
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A
).A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
解：对于一元二次方程$x^{2}+mx - 8 = 0$，其中$a = 1$，$b = m$，$c=-8$。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=m^{2}-4×1×(-8)=m^{2}+32$。
因为$m^{2}\geq0$，所以$m^{2}+32＞0$，即$\Delta＞0$。
所以方程有两个不相等的实数根。
答案：A
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=m^{2}-4×1×(-8)=m^{2}+32$。
因为$m^{2}\geq0$，所以$m^{2}+32＞0$，即$\Delta＞0$。
所以方程有两个不相等的实数根。
答案：A
3.(2023,黑龙江)如图,在长为100m,宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路,若余下的部分全部种上花卉,且花圃的面积是$3600m^{2}$,则小路的宽是(
A.5m
B.70m
C.5m或70m
D.10m
A
).A.5m
B.70m
C.5m或70m
D.10m
答案
【解析】：本题考查一元二次方程在实际问题中的应用，可通过平移的方式将花圃部分拼成一个新的矩形，根据矩形面积公式列出方程求解。
步骤一：分析花圃部分拼成新矩形后的长和宽
将四条小路平移到矩形空地的边缘，此时花圃部分可拼成一个新的矩形。
设小路的宽为$x$米，那么新矩形的长为$(100 - 2x)$米，宽为$(50 - 2x)$米。
步骤二：根据矩形面积公式列出方程
已知花圃的面积是$3600m^{2}$，根据矩形面积公式$S = 长×宽$，可列出方程$(100 - 2x)(50 - 2x) = 3600$。
步骤三：解方程
展开括号得：$5000 - 200x - 100x + 4x^{2} = 3600$。
移项、合并同类项化为一元二次方程的一般形式：$4x^{2} - 300x + 5000 - 3600 = 0$，即$4x^{2} - 300x + 1400 = 0$，两边同时除以$4$得$x^{2} - 75x + 350 = 0$。
因式分解得$(x - 5)(x - 70) = 0$。
则$x - 5 = 0$或$x - 70 = 0$，解得$x_{1} = 5$，$x_{2} = 70$。
步骤四：检验方程的解
因为矩形空地的宽为$50$米，而$70\gt50$，小路的宽不可能超过矩形空地的宽，所以$x = 70$不符合实际情况，应舍去。
因此，小路的宽是$5$米。
【答案】：A
步骤一：分析花圃部分拼成新矩形后的长和宽
将四条小路平移到矩形空地的边缘，此时花圃部分可拼成一个新的矩形。
设小路的宽为$x$米，那么新矩形的长为$(100 - 2x)$米，宽为$(50 - 2x)$米。
步骤二：根据矩形面积公式列出方程
已知花圃的面积是$3600m^{2}$，根据矩形面积公式$S = 长×宽$，可列出方程$(100 - 2x)(50 - 2x) = 3600$。
步骤三：解方程
展开括号得：$5000 - 200x - 100x + 4x^{2} = 3600$。
移项、合并同类项化为一元二次方程的一般形式：$4x^{2} - 300x + 5000 - 3600 = 0$，即$4x^{2} - 300x + 1400 = 0$，两边同时除以$4$得$x^{2} - 75x + 350 = 0$。
因式分解得$(x - 5)(x - 70) = 0$。
则$x - 5 = 0$或$x - 70 = 0$，解得$x_{1} = 5$，$x_{2} = 70$。
步骤四：检验方程的解
因为矩形空地的宽为$50$米，而$70\gt50$，小路的宽不可能超过矩形空地的宽，所以$x = 70$不符合实际情况，应舍去。
因此，小路的宽是$5$米。
【答案】：A
4.(2023,四川雅安)已知关于$x的方程x^{2}+mx-4= 0$的一个根为1,则该方程的另一个根为
-4
.答案
解：设方程的另一个根为$x_1$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，两根之积为$\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 + mx - 4 = 0$中，$a = 1$，$c = -4$，已知一个根为$1$，则：
$1 × x_1 = \frac{-4}{1}$
$x_1 = -4$
故答案为：$-4$
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，两根之积为$\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 + mx - 4 = 0$中，$a = 1$，$c = -4$，已知一个根为$1$，则：
$1 × x_1 = \frac{-4}{1}$
$x_1 = -4$
故答案为：$-4$
5.(2023,湖南常德)若关于$x的一元二次方程x^{2}-2x+k= 0$有两个不相等的实数根,则$k$的取值范围是
$k＜1$
.答案
解：对于一元二次方程$x^{2}-2x + k = 0$，其中$a = 1$，$b=-2$，$c = k$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta=b^{2}-4ac＞0$。
即$(-2)^{2}-4×1× k＞0$，
$4 - 4k＞0$，
$-4k＞-4$，
解得$k＜1$。
故$k$的取值范围是$k＜1$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta=b^{2}-4ac＞0$。
即$(-2)^{2}-4×1× k＞0$，
$4 - 4k＞0$，
$-4k＞-4$，
解得$k＜1$。
故$k$的取值范围是$k＜1$。
6.(2023,湖南)某校截止到2024年底,校园绿化面积为$1000m^{2}$.为美化环境,该校计划2026年底绿化面积达到$1440m^{2}$.利用方程思想,设这两年绿化面积的年平均增长率为$x$,则依题意列方程为
$1000(1+x)^{2}=1440$
.答案
【解析】：
本题主要考查一元二次方程的应用，特别是关于增长率的问题。
首先，需要理解年平均增长率的定义。
年平均增长率$x$意味着，如果某一年的数量是$A$，那么下一年的数量将是$A(1+x)$。
根据题目，2024年底的绿化面积是$1000m^{2}$。
那么，到2025年底，绿化面积将是$1000(1+x)m^{2}$。
再经过一年，即到2026年底，绿化面积将是$1000(1+x)(1+x) = 1000(1+x)^{2}m^{2}$。
题目要求2026年底的绿化面积达到$1440m^{2}$，因此可以列出方程：
$1000(1+x)^{2} = 1440$。
【答案】：
$1000(1+x)^{2} = 1440$。
本题主要考查一元二次方程的应用，特别是关于增长率的问题。
首先，需要理解年平均增长率的定义。
年平均增长率$x$意味着，如果某一年的数量是$A$，那么下一年的数量将是$A(1+x)$。
根据题目，2024年底的绿化面积是$1000m^{2}$。
那么，到2025年底，绿化面积将是$1000(1+x)m^{2}$。
再经过一年，即到2026年底，绿化面积将是$1000(1+x)(1+x) = 1000(1+x)^{2}m^{2}$。
题目要求2026年底的绿化面积达到$1440m^{2}$，因此可以列出方程：
$1000(1+x)^{2} = 1440$。
【答案】：
$1000(1+x)^{2} = 1440$。
7.(2023,黑龙江齐齐哈尔)解方程$x^{2}-3x+2= 0$.
答案
解：$x^{2}-3x+2=0$
因式分解，得$(x-1)(x-2)=0$
则$x-1=0$或$x-2=0$
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$
因式分解，得$(x-1)(x-2)=0$
则$x-1=0$或$x-2=0$
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$
8.(2023,湖北)已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(2m+1)x+m^{2}+m= 0$.
(1)求证：无论$m$取何值时,方程都有两个不相等的实数根.
(2)设该方程的两个实数根为$a,b$,若$(2a+b)(a+2b)= 20$,求$m$的值.
(1)求证：无论$m$取何值时,方程都有两个不相等的实数根.
(2)设该方程的两个实数根为$a,b$,若$(2a+b)(a+2b)= 20$,求$m$的值.
答案
【解析】：
(1)为了证明无论$m$取何值时,方程都有两个不相等的实数根，我们需要计算判别式$\Delta$：
$\Delta = \lbrack - (2m + 1)\rbrack^{2} - 4(m^{2} + m) = 4m^{2} + 4m + 1 - 4m^{2} - 4m = 1 ＞ 0$
由于$\Delta ＞ 0$，所以无论$m$取何值时,方程都有两个不相等的实数根。
(2)该方程的两个实数根为$a,b$，根据根与系数的关系，我们有：
$a + b = 2m + 1$
$ab = m^{2} + m$
接下来，我们将$(2a+b)(a+2b)$进行展开：
$(2a+b)(a+2b) = 2a^{2} + 5ab + 2b^{2}$
这可以进一步表示为：
$2(a^{2} + 2ab + b^{2}) + ab = 2(a + b)^{2} + ab$
代入$a+b$和$ab$的值，我们得到：
$2(2m + 1)^{2} + (m^{2} + m) = 20$
整理上述方程，我们得到：
$9m^{2} + 9m - 18 = 0$
进一步整理，得到：
$m^{2} + m - 2 = 0$
通过因式分解，我们得到：
$(m-1)(m+2) = 0$
从上式，我们可以解出：
$m_{1} = 1, m_{2} = -2$。
【答案】：
(1)证明见解析，无论$m$取何值时,方程都有两个不相等的实数根。
(2)$m$的值为$1$或$-2$。
(1)为了证明无论$m$取何值时,方程都有两个不相等的实数根，我们需要计算判别式$\Delta$：
$\Delta = \lbrack - (2m + 1)\rbrack^{2} - 4(m^{2} + m) = 4m^{2} + 4m + 1 - 4m^{2} - 4m = 1 ＞ 0$
由于$\Delta ＞ 0$，所以无论$m$取何值时,方程都有两个不相等的实数根。
(2)该方程的两个实数根为$a,b$，根据根与系数的关系，我们有：
$a + b = 2m + 1$
$ab = m^{2} + m$
接下来，我们将$(2a+b)(a+2b)$进行展开：
$(2a+b)(a+2b) = 2a^{2} + 5ab + 2b^{2}$
这可以进一步表示为：
$2(a^{2} + 2ab + b^{2}) + ab = 2(a + b)^{2} + ab$
代入$a+b$和$ab$的值，我们得到：
$2(2m + 1)^{2} + (m^{2} + m) = 20$
整理上述方程，我们得到：
$9m^{2} + 9m - 18 = 0$
进一步整理，得到：
$m^{2} + m - 2 = 0$
通过因式分解，我们得到：
$(m-1)(m+2) = 0$
从上式，我们可以解出：
$m_{1} = 1, m_{2} = -2$。
【答案】：
(1)证明见解析，无论$m$取何值时,方程都有两个不相等的实数根。
(2)$m$的值为$1$或$-2$。
