9. 若单项式$\frac{1}{3}a^{m + 1}b^{3}与- 2a^{3}b^{n}$的和仍是单项式,求方程$\frac{x - 7}{n} - \frac{1 + x}{m} = 1$的解.

因为单项式$\frac{1}{3}a^{m+1}b^{3}$与$-2a^{3}b^{n}$的和仍是单项式,所以$\begin{cases} m+1=3, \\ n=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=2, \\ n=3, \end{cases}$所以$\frac{x-7}{n}-\frac{1+x}{m}=\frac{x-7}{3}-\frac{1+x}{2}=1$,解得$x=-23$.

因为单项式$\frac{1}{3}a^{m+1}b^{3}$与$-2a^{3}b^{n}$的和仍是单项式，所以$\begin{cases} m+1=3 \\ n=3 \end{cases}$，解得$\begin{cases} m=2 \\ n=3 \end{cases}$。将$m=2$，$n=3$代入方程$\frac{x - 7}{n} - \frac{1 + x}{m} = 1$，得$\frac{x - 7}{3} - \frac{1 + x}{2} = 1$。方程两边同乘$6$，得$2(x - 7) - 3(1 + x) = 6$，去括号得$2x - 14 - 3 - 3x = 6$，移项得$2x - 3x = 6 + 14 + 3$，合并同类项得$-x = 23$，解得$x = -23$。

1. 已知方程$\frac{1}{3} - 3(x - \frac{1}{2022}) = \frac{5}{6}$,则式子$11 + 2(\frac{1}{2022} - x)$的值为()
A.$\frac{17}{3}$
B.$\frac{34}{3}$
C.$\frac{17}{6}$
D.$\frac{34}{6}$

B

设$ t = x - \frac{1}{2022} $，则原方程为$ \frac{1}{3} - 3t = \frac{5}{6} $。
$-3t = \frac{5}{6} - \frac{1}{3}$
$-3t = \frac{5}{6} - \frac{2}{6}$
$-3t = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$t = -\frac{1}{6}$
$\frac{1}{2022} - x = -t = \frac{1}{6}$
$11 + 2(\frac{1}{2022} - x) = 11 + 2×\frac{1}{6} = 11 + \frac{1}{3} = \frac{33}{3} + \frac{1}{3} = \frac{34}{3}$
B

2. 我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题:“一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁?”意思是有100个和尚分100个馒头,如果大和尚1人分3个,小和尚3人分1个,正好分完,大、小和尚各多少人?设小和尚有$x$人,由题意列方程得()
A.$\frac{x}{3} + 3(100 - x) = 100$
B.$3x + \frac{100 - x}{3} = 100$
C.$\frac{x}{3} - 3(100 - x) = 100$
D.$3x - \frac{100 - x}{3} = 100$

A

设小和尚有$x$人，则大和尚有$(100 - x)$人。小和尚分得馒头$\frac{x}{3}$个，大和尚分得馒头$3(100 - x)$个，根据馒头总数为100个，可列方程：$\frac{x}{3} + 3(100 - x) = 100$。
A

3. 如果两个方程的解相差1,那么称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”.若关于$x的方程3x + m = 0是关于x的方程2(x - 2) = - 4(3 + x)$的“后移方程”,则$m$的值为.

1

解方程$2(x - 2) = - 4(3 + x)$：
$\begin{aligned}2x - 4 &= -12 - 4x\\2x + 4x &= -12 + 4\\6x &= -8\\x &= -\dfrac{4}{3}\end{aligned}$
因为方程$3x + m = 0$是其“后移方程”，所以$3x + m = 0$的解为$-\dfrac{4}{3} + 1 = -\dfrac{1}{3}$。
将$x = -\dfrac{1}{3}$代入$3x + m = 0$：
$3×\left(-\dfrac{1}{3}\right) + m = 0 \implies -1 + m = 0 \implies m = 1$
1

4. 解下列方程:
(1) $\frac{x - 3}{4} - \frac{x - 4}{3} = \frac{1}{2}$;
(2) $\frac{x + 1}{4} - 1 = \frac{2x - 1}{6}$;
(3) $\frac{x + 3}{4} - 1 = \frac{x - 3}{2} - 2$;
(4) $\frac{0.4x - 0.1}{0.5} = \frac{0.1 + 0.2x}{0.3} - 0.6$.

$(1)$ 解方程$\frac{x - 3}{4} - \frac{x - 4}{3} = \frac{1}{2}$
解：
给方程两边同时乘以$12$去分母得：
$12×\frac{x - 3}{4}-12×\frac{x - 4}{3}=12×\frac{1}{2}$
即$3(x - 3)-4(x - 4)=6$
去括号得$3x-9 - 4x + 16 = 6$
移项得$3x-4x=6 + 9 - 16$
合并同类项得$-x=-1$
系数化为$1$得$x = 1$。
$(2)$ 解方程$\frac{x + 1}{4} - 1 = \frac{2x - 1}{6}$
解：
给方程两边同时乘以$12$去分母得：
$12×\frac{x + 1}{4}-12×1=12×\frac{2x - 1}{6}$
即$3(x + 1)-12 = 2(2x - 1)$
去括号得$3x+3 - 12 = 4x - 2$
移项得$3x-4x=-2 - 3 + 12$
合并同类项得$-x = 7$
系数化为$1$得$x=-7$。
$(3)$ 解方程$\frac{x + 3}{4} - 1 = \frac{x - 3}{2} - 2$
解：
给方程两边同时乘以$4$去分母得：
$(x + 3)-4 = 2(x - 3)-8$
去括号得$x + 3 - 4 = 2x - 6 - 8$
移项得$x-2x=-6 - 8 - 3 + 4$
合并同类项得$-x=-13$
系数化为$1$得$x = 13$。
$(4)$ 解方程$\frac{0.4x - 0.1}{0.5} = \frac{0.1 + 0.2x}{0.3} - 0.6$
解：
先将方程中的小数化为整数，分子分母同时乘以$10$得$\frac{4x - 1}{5}=\frac{1 + 2x}{3}-0.6$
给方程两边同时乘以$15$去分母得：
$3(4x - 1)=5(1 + 2x)-9$
去括号得$12x-3 = 5 + 10x-9$
移项得$12x-10x=5 - 9 + 3$
合并同类项得$2x=-1$
系数化为$1$得$x=-\frac{1}{2}$。
综上，答案依次为：$(1)x = 1$；$(2)x=-7$；$(3)x = 13$；$(4)x=-\frac{1}{2}$。