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1. 二次函数$ y = x^{2} $的图象必经过点(
A.$ (2,4) $
B.$ (-2,-4) $
C.$ (-4,2) $
D.$ (4,-2) $
A
)A.$ (2,4) $
B.$ (-2,-4) $
C.$ (-4,2) $
D.$ (4,-2) $
答案
A
解析
将各选项坐标代入二次函数$y = x^{2}$：
选项A：当$x=2$时，$y = 2^{2}=4$，则点$(2,4)$在函数图象上；
选项B：当$x=-2$时，$y=(-2)^{2}=4\neq -4$，则点$(-2,-4)$不在函数图象上；
选项C：当$x=-4$时，$y=(-4)^{2}=16\neq 2$，则点$(-4,2)$不在函数图象上；
选项D：当$x=4$时，$y=4^{2}=16\neq -2$，则点$(4,-2)$不在函数图象上。
A
选项A：当$x=2$时，$y = 2^{2}=4$，则点$(2,4)$在函数图象上；
选项B：当$x=-2$时，$y=(-2)^{2}=4\neq -4$，则点$(-2,-4)$不在函数图象上；
选项C：当$x=-4$时，$y=(-4)^{2}=16\neq 2$，则点$(-4,2)$不在函数图象上；
选项D：当$x=4$时，$y=4^{2}=16\neq -2$，则点$(4,-2)$不在函数图象上。
A
2. 比较二次函数$ y = x^{2} 与 y = -x^{2} $的图象,下列结论错误的是(
A.对称轴相同
B.顶点相同
C.图象都有最高点
D.开口方向相反
C
)A.对称轴相同
B.顶点相同
C.图象都有最高点
D.开口方向相反
答案
C
解析
对于二次函数$y = x^{2}$：
对称轴为$x = 0$；
顶点坐标为$(0,0)$；
开口向上，有最低点；
对于二次函数$y=-x^{2}$：
对称轴为$x = 0$；
顶点坐标为$(0,0)$；
开口向下，有最高点；
A. 对称轴相同，均为$x = 0$，结论正确；
B. 顶点相同，均为$(0,0)$，结论正确；
C. $y = x^{2}$有最低点，$y=-x^{2}$有最高点，结论错误；
D. 开口方向相反，$y = x^{2}$开口向上，$y=-x^{2}$开口向下，结论正确。
C
对称轴为$x = 0$；
顶点坐标为$(0,0)$；
开口向上，有最低点；
对于二次函数$y=-x^{2}$：
对称轴为$x = 0$；
顶点坐标为$(0,0)$；
开口向下，有最高点；
A. 对称轴相同，均为$x = 0$，结论正确；
B. 顶点相同，均为$(0,0)$，结论正确；
C. $y = x^{2}$有最低点，$y=-x^{2}$有最高点，结论错误；
D. 开口方向相反，$y = x^{2}$开口向上，$y=-x^{2}$开口向下，结论正确。
C
3. 下列四个二次函数：①$ y = x^{2} $；②$ y = -2x^{2} $；③$ y = \frac{1}{2}x^{2} $；④$ y = 3x^{2} $。其中抛物线开口从大到小的排列顺序是(
A.③①②④
B.②③①④
C.④②①③
D.④①③②
A
)A.③①②④
B.②③①④
C.④②①③
D.④①③②
答案
A
解析
二次函数$y=ax^{2}$（$a\neq0$）的开口大小由$|a|$决定，$|a|$越小，抛物线开口越大。
$|a|$的值分别为：①$|1|=1$；②$|-2|=2$；③$|\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$；④$|3|=3$。
比较大小：$\frac{1}{2} ＜ 1 ＜ 2 ＜ 3$，所以开口从大到小的顺序是③①②④。
A
$|a|$的值分别为：①$|1|=1$；②$|-2|=2$；③$|\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$；④$|3|=3$。
比较大小：$\frac{1}{2} ＜ 1 ＜ 2 ＜ 3$，所以开口从大到小的顺序是③①②④。
A
4. 已知点$ A(-3,y_{1}) $,$ B(-1,y_{2}) $,$ C(2,y_{3}) 在二次函数 y = 2x^{2} $的图象上,则$ y_{1} $,$ y_{2} $,$ y_{3} $的大小关系是(
A.$ y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3} $
B.$ y_{3} ＜ y_{2} ＜ y_{1} $
C.$ y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2} $
D.$ y_{2} ＜ y_{3} ＜ y_{1} $
D
)A.$ y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3} $
B.$ y_{3} ＜ y_{2} ＜ y_{1} $
C.$ y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2} $
D.$ y_{2} ＜ y_{3} ＜ y_{1} $
答案
D
解析
将点$A(-3,y_{1})$代入$y = 2x^{2}$，得$y_{1}=2×(-3)^{2}=2×9 = 18$；
将点$B(-1,y_{2})$代入$y = 2x^{2}$，得$y_{2}=2×(-1)^{2}=2×1 = 2$；
将点$C(2,y_{3})$代入$y = 2x^{2}$，得$y_{3}=2×2^{2}=2×4 = 8$；
因为$2＜8＜18$，所以$y_{2}＜y_{3}＜y_{1}$。
D
将点$B(-1,y_{2})$代入$y = 2x^{2}$，得$y_{2}=2×(-1)^{2}=2×1 = 2$；
将点$C(2,y_{3})$代入$y = 2x^{2}$，得$y_{3}=2×2^{2}=2×4 = 8$；
因为$2＜8＜18$，所以$y_{2}＜y_{3}＜y_{1}$。
D
5. 已知二次函数$ y = (m + 1)x^{2} $有最大值,则$ m $的取值范围是____。
答案
m＜−1
解析
二次函数$y=(m + 1)x^{2}$有最大值，因为二次函数的图像是抛物线，当二次项系数小于$0$时，抛物线开口向下，函数有最大值。所以$m + 1\lt0$，解得$m\lt - 1$。
$m\lt - 1$
$m\lt - 1$
6. 在同一平面直角坐标系中,画出二次函数$ y = x^{2} $,$ y = -3x^{2} $,$ y = -\frac{1}{3}x^{2} 和 y = 3x^{2} $的图象。
答题（画图步骤）：
1.列表：
对于 $y = x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&9&4&1&0&1&4&9\end{matrix}$；
对于 $y = -3x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&-27&-12&-3&0&-3&-12&-27\end{matrix}$；
对于 $y = -\frac{1}{3}x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&-3&-\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}&0&-\frac{1}{3}&-\frac{4}{3}&-3\end{matrix}$；
对于 $y = 3x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&27&12&3&0&3&12&27\end{matrix}$；
2.在平面直角坐标系中，分别描出以上对应的点；
3.用平滑的曲线将各点连接起来，得到四个二次函数的图象。
$y = x^{2}$ 的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点在原点；
$y = -3x^{2}$ 的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点在原点；
$y = -\frac{1}{3}x^{2}$ 的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点在原点；
$y = 3x^{2}$ 的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点在原点。
（图像应以实际绘制为准，此处仅为描述）。
1.列表：
对于 $y = x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&9&4&1&0&1&4&9\end{matrix}$；
对于 $y = -3x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&-27&-12&-3&0&-3&-12&-27\end{matrix}$；
对于 $y = -\frac{1}{3}x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&-3&-\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}&0&-\frac{1}{3}&-\frac{4}{3}&-3\end{matrix}$；
对于 $y = 3x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&27&12&3&0&3&12&27\end{matrix}$；
2.在平面直角坐标系中，分别描出以上对应的点；
3.用平滑的曲线将各点连接起来，得到四个二次函数的图象。
$y = x^{2}$ 的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点在原点；
$y = -3x^{2}$ 的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点在原点；
$y = -\frac{1}{3}x^{2}$ 的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点在原点；
$y = 3x^{2}$ 的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点在原点。
（图像应以实际绘制为准，此处仅为描述）。
答案
答题（画图步骤）：
1.列表：
对于 $y = x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&9&4&1&0&1&4&9\end{matrix}$；
对于 $y = -3x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&-27&-12&-3&0&-3&-12&-27\end{matrix}$；
对于 $y = -\frac{1}{3}x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&-3&-\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}&0&-\frac{1}{3}&-\frac{4}{3}&-3\end{matrix}$；
对于 $y = 3x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&27&12&3&0&3&12&27\end{matrix}$；
2.在平面直角坐标系中，分别描出以上对应的点；
3.用平滑的曲线将各点连接起来，得到四个二次函数的图象。
$y = x^{2}$ 的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点在原点；
$y = -3x^{2}$ 的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点在原点；
$y = -\frac{1}{3}x^{2}$ 的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点在原点；
$y = 3x^{2}$ 的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点在原点。
（图像应以实际绘制为准，此处仅为描述）。
1.列表：
对于 $y = x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&9&4&1&0&1&4&9\end{matrix}$；
对于 $y = -3x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&-27&-12&-3&0&-3&-12&-27\end{matrix}$；
对于 $y = -\frac{1}{3}x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&-3&-\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}&0&-\frac{1}{3}&-\frac{4}{3}&-3\end{matrix}$；
对于 $y = 3x^{2}$：
$\begin{matrix}x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\y&27&12&3&0&3&12&27\end{matrix}$；
2.在平面直角坐标系中，分别描出以上对应的点；
3.用平滑的曲线将各点连接起来，得到四个二次函数的图象。
$y = x^{2}$ 的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点在原点；
$y = -3x^{2}$ 的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点在原点；
$y = -\frac{1}{3}x^{2}$ 的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点在原点；
$y = 3x^{2}$ 的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点在原点。
（图像应以实际绘制为准，此处仅为描述）。
7. 如图22-1-2-1,$ \odot O 的半径为 2 $,$ C_{1} 是函数 y = 2x^{2} $的图象,$ C_{2} 是函数 y = -2x^{2} $的图象,则图中阴影部分的面积为
2π
。答案
2π
解析
由于函数$y = 2x^2$与$y=-2x^2$的图象关于$x$轴对称，$\odot O$的图象关于$x$轴和$y$轴均对称，因此图中阴影部分的面积为$\odot O$面积的$\frac{1}{2}$。
$\odot O$的半径为$2$，其面积为$\pi r^2=\pi×2^2 = 4\pi$。
阴影部分面积为$\frac{1}{2}×4\pi=2\pi$。
2π
$\odot O$的半径为$2$，其面积为$\pi r^2=\pi×2^2 = 4\pi$。
阴影部分面积为$\frac{1}{2}×4\pi=2\pi$。
2π
8. 抛物线$ y = ax^{2} 与直线 y = 2x - 3 交于点 (1,b) $。
(1)求$ a $,$ b $的值。
(2)抛物线$ y = ax^{2} 上是否存在一点 P $,其到两坐标轴的距离相等？若存在,求出点$ P $的坐标；若不存在,请说明理由。
(1)求$ a $,$ b $的值。
(2)抛物线$ y = ax^{2} 上是否存在一点 P $,其到两坐标轴的距离相等？若存在,求出点$ P $的坐标；若不存在,请说明理由。
答案
(1)a=−1,b=−1
(2)若存在点P,设点P的坐标为(x,y),则|x|=|y|。
∵a=−1,
∴y=−x²,
∴x²=|x|,
∴x=0或x=±1,
∴点P的坐标为(0,0)或(1,−1)或(−1,−1)。
9. (数形结合)如图22-1-2-2,已知二次函数$ y = ax^{2} 与一次函数 y = kx - 2 的图象相交于 A $,$ B $两点,其中$ A(-1,-1) $。
(1)求二次函数和一次函数的解析式；
(2)求$ \triangle OAB $的面积。
(1)求二次函数和一次函数的解析式；
(2)求$ \triangle OAB $的面积。
答案
(1)一次函数的解析式为y=−x−2。二次函数的解析式为y=−x²。
(2)如图,设AB交y轴于点G,过B作BH ⊥OG,垂足为H。
在y=−x−2中,令x=0,得y=−2,
∴G(0,−2),
联立一次函数与二次函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l} y=-x-2,\\ y=-x^{2},\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} x=-1,\\ y=-1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-4\end{array}\right.$。
∴B(2,−4),
∴BH=2。
∴S△OAB=S△AOG+S△BOG=$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$× 2×2=1+2=3。
