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1. 如图,等边三角形 $ABC$ 的三条角平分线相交于点 $O$,过点 $O$ 作 $EF // BC$ 交 $AB$ 于点 $E$,交 $AC$ 于点 $F$,那么这个图形中的等腰三角形共有(
A.4 个
B.5 个
C.6 个
D.7 个
D
)A.4 个
B.5 个
C.6 个
D.7 个
答案
1.D 解析:由题意，得图形中的等腰三角形有△ABC,△AEF,△AOB,△AOC,△BOC,△EOB,△FOC,共7个.
2. 如图,$\triangle ABC$ 是等边三角形,$AB = 6$,$BD$ 是 $\angle ABC$ 的平分线,延长 $BC$ 到点 $E$,使 $CE = CD$,则 $BE$ 的长为(
A.7
B.8
C.$\frac{17}{2}$
D.9
D
)A.7
B.8
C.$\frac{17}{2}$
D.9
答案
2.D 解析:由题意可知BC=AB=AC=6.因为BD是∠ABC的平分线,CE=CD，所以CE=CD= $\frac{1}{2}$AC=3,所以BE=BC+CE=9.故选D.
3. 如图,$\triangle ABC$ 是等边三角形,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线,$\triangle ADE$ 是等边三角形,$AB$ 与 $ED$ 相交于点 $F$,有下列结论：① $AD \perp BC$；② $EF = FD$；③ $BE = BD$。其中正确的个数为(
A.0
B.1
C.2
D.3
D
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案
3.D
解析
①
∵△ABC是等边三角形，AD是角平分线，
∴AD⊥BC（三线合一），①正确；
②
∵△ABC、△ADE是等边三角形，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=30°，∠ADE=60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠FDB=30°，∠BFD=90°，即AF⊥ED，
∵△ADE是等边三角形，AF⊥ED，
∴EF=FD，②正确；
③设AB=2，则BD=1，AD=√3，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=√3，∠DAE=60°，
∵∠BAD=30°，
∴∠BAE=30°，在△ABE中，AB=2，AE=√3，∠BAE=30°，
由余弦定理得BE²=AB²+AE²-2AB·AE·cos30°=4+3-2×2×√3×(√3/2)=1，
∴BE=1，
∵BD=1，
∴BE=BD，③正确；
正确的个数为3。
D
∵△ABC是等边三角形，AD是角平分线，
∴AD⊥BC（三线合一），①正确；
②
∵△ABC、△ADE是等边三角形，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=30°，∠ADE=60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠FDB=30°，∠BFD=90°，即AF⊥ED，
∵△ADE是等边三角形，AF⊥ED，
∴EF=FD，②正确；
③设AB=2，则BD=1，AD=√3，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=√3，∠DAE=60°，
∵∠BAD=30°，
∴∠BAE=30°，在△ABE中，AB=2，AE=√3，∠BAE=30°，
由余弦定理得BE²=AB²+AE²-2AB·AE·cos30°=4+3-2×2×√3×(√3/2)=1，
∴BE=1，
∵BD=1，
∴BE=BD，③正确；
正确的个数为3。
D
4. 如图,$\triangle ABC$ 是等边三角形,$AD \perp BC$ 于点 $D$,$AE = AD$,则 $\angle CDE = $
15°
。答案
15°
解析
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC=BC。
∵AD⊥BC，
∴BD=DC，∠BAD=∠CAD=30°，∠ADC=90°。
设AD=AE=a，
在Rt△ADC中，∠CAD=30°，
∴DC=AD·tan30°=a·$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AC=$\frac{AD}{cos30°}$=$\frac{2a\sqrt{3}}{3}$。
∵AE=AD=a，
∴EC=AC - AE=$\frac{2a\sqrt{3}}{3}$-a。
在△ADE中，AE=AD，∠DAE=30°，
∴∠ADE=∠AED=$\frac{180° - 30°}{2}$=75°。
∵∠ADC=90°，
∴∠CDE=∠ADC - ∠ADE=90° - 75°=15°。
15°
5. 如图,$OP$ 平分 $\angle AOB$,$\angle AOP = 15^{\circ}$,$PC // OA$,$PD \perp OA$ 于点 $D$,$PC = 4$,则 $PD = $
2
。答案
2
解析
过点 $ P $ 作 $ PE \perp OB $ 于点 $ E $。
因为 $ OP $ 平分 $ \angle AOB $，$ \angle AOP = 15° $，所以 $ \angle AOB = 2\angle AOP = 30° $。
因为 $ PC // OA $，所以 $ \angle PCE = \angle AOB = 30° $。
在 $ Rt \triangle PCE $ 中，$ \angle PCE = 30° $，$ PC = 4 $，所以 $ PE = \frac{1}{2}PC = 2 $。
因为 $ OP $ 平分 $ \angle AOB $，$ PD \perp OA $，$ PE \perp OB $，所以 $ PD = PE = 2 $。
$ 2 $
因为 $ OP $ 平分 $ \angle AOB $，$ \angle AOP = 15° $，所以 $ \angle AOB = 2\angle AOP = 30° $。
因为 $ PC // OA $，所以 $ \angle PCE = \angle AOB = 30° $。
在 $ Rt \triangle PCE $ 中，$ \angle PCE = 30° $，$ PC = 4 $，所以 $ PE = \frac{1}{2}PC = 2 $。
因为 $ OP $ 平分 $ \angle AOB $，$ PD \perp OA $，$ PE \perp OB $，所以 $ PD = PE = 2 $。
$ 2 $
6. 如图,已知 $\angle O = 60^{\circ}$,点 $C$ 在 $OB$ 上,$OC = 8$,点 $D$,$E$ 在 $OA$ 上,且 $CD = CE$。若 $DE = 4$,则 $OE$ 的长为______。
答案
6.2 解析:如图，过点C作CH⊥OA于点H,则∠CHO=90°.
因为∠O=60°,所以∠OCH=90° - 60°=30°,所以OH= $\frac{1}{2}$OC=4.因为CD=CE,CH⊥OA,DE=4,所以EH= $\frac{1}{2}$DE=2,所以OE=OH - EH=4 - 2=2.
7. 如图,已知 $\triangle ABC$ 为等边三角形,$D$ 为 $BC$ 延长线上的一点,$CE$ 平分 $\angle ACD$,$CE = BD$,求证：$\triangle ADE$ 是等边三角形。
答案
7.证明:因为△ABC为等边三角形，所以AB=AC,∠B=∠ACB=60°,所以∠ACD=120°.又因为CE平分∠ACD，所以∠ACE=60°,所以∠B=∠ACE.又因为BD=CE,所以△ABD≌△ACE(SAS),所以∠BAD=∠CAE,AD=AE,所以∠CAE - ∠CAD=∠BAD - ∠CAD,即∠EAD=∠BAC=60°.又因为AD=AE,所以△ADE是等边三角形.
解析
证明:
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=120°.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECD=60°，
∴∠B=∠ACE.
∵BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE.
∵∠DAE=∠CAE-∠CAD，∠BAC=∠BAD-∠CAD，
∴∠DAE=∠BAC=60°.
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形.
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=120°.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECD=60°，
∴∠B=∠ACE.
∵BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE.
∵∠DAE=∠CAE-∠CAD，∠BAC=∠BAD-∠CAD，
∴∠DAE=∠BAC=60°.
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形.
